Гравитационный потенциал — скалярная физическая величина, определяющая потенциальную энергию единичной массы в гравитационном поле. Он является удобным инструментом анализа, так как позволяет перейти от векторного описания поля к скалярному, сохраняя всю информацию о поле.
Потенциал φ в точке пространства определяется как работа, которую необходимо совершить против сил тяготения для перемещения единичной массы из бесконечности в данную точку:
φ(r) = −∫∞rg ⋅ dl
где g — вектор напряжённости (интенсивности) гравитационного поля, dl — элемент пути.
Если гравитационное поле создаётся точечной массой M, расположенной в начале координат, то гравитационный потенциал в точке на расстоянии r от неё:
$$ \varphi(r) = -\frac{GM}{r} $$
где G — гравитационная постоянная. Потенциал имеет отрицательное значение, поскольку гравитационное взаимодействие притягательное, а бесконечность принята за нулевой уровень потенциальной энергии.
Гравитационное поле — это поле сил, действующих на пробную массу. Оно характеризуется векторной величиной напряжённости (или интенсивности) поля g:
g = −∇φ
где ∇φ — градиент гравитационного потенциала. Это выражение показывает, что поле направлено в сторону убывания потенциала.
Для точечной массы:
$$ \mathbf{g} = -\frac{GM}{r^2} \hat{\mathbf{r}} $$
где $\hat{\mathbf{r}}$ — единичный вектор, направленный от источника массы к точке наблюдения.
Линейность: потенциал от нескольких масс равен алгебраической сумме потенциалов от каждой из них.
$$ \varphi(\mathbf{r}) = \sum_i -\frac{G M_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|} $$
Скалярность: в отличие от напряжённости поля, потенциал — скаляр, что упрощает математические операции, особенно при симметрии.
Связь с потенциальной энергией: для массы m, помещённой в гравитационное поле, потенциальная энергия:
U = mφ
Сферическая симметрия: для сферически симметричного распределения массы с радиусом R, вне тела (r > R) потенциал аналогичен потенциалу точечной массы, сосредоточенной в центре:
$$ \varphi(r) = -\frac{GM}{r} $$
Внутри однородной сферы (r < R):
$$ \varphi(r) = -\frac{GM}{2R^3} \left(3R^2 - r^2\right) $$
Гравитационное поле описывается с помощью уравнений, аналогичных уравнениям электростатики. Основное дифференциальное уравнение, связывающее гравитационный потенциал и плотность массы ρ(r), — уравнение Пуассона:
∇2φ = 4πGρ
где ∇2 — оператор Лапласа. В области, свободной от масс (ρ = 0) уравнение переходит в уравнение Лапласа:
∇2φ = 0
Это фундаментальные уравнения гравитационной теории в ньютоновском приближении, и они лежат в основе вычислений полей произвольной конфигурации.
Благодаря линейности уравнения Пуассона, справедлив принцип суперпозиции: гравитационный потенциал системы тел есть сумма потенциалов, создаваемых каждым телом отдельно. Это ключевой момент при моделировании сложных конфигураций, таких как планетные системы или галактики.
Поверхности, на которых гравитационный потенциал постоянен, называются эквипотенциальными. В каждой точке такой поверхности вектор напряжённости поля перпендикулярен к ней. Эти поверхности важны при анализе движения масс в гравитационном поле, поскольку движение по ним не сопровождается работой гравитационных сил.
Для точечной массы эквипотенциальные поверхности — концентрические сферы.
Энергия гравитационного поля в классической механике не локализована в пространстве. Однако для замкнутых систем можно определить полную потенциальную энергию взаимодействия:
$$ U = -\frac{1}{2} \int \varphi(\mathbf{r}) \rho(\mathbf{r}) \, d^3r $$
Этот интеграл используется, например, при анализе устойчивости гравитационно-связанных тел, таких как звёзды или скопления галактик. Минус в формуле отражает притяжательный характер поля.
Через гравитационный потенциал можно связать гравитацию с уравнениями движения тел. Сила, действующая на тело массы m, определяется как градиент потенциальной энергии:
F = −m∇φ
Это позволяет трактовать движение в гравитационном поле как движение по потенциальной яме, что удобно для численного моделирования орбит и траекторий.
При переходе к неинерциальным системам отсчёта (например, вращающимся) в уравнения для потенциала добавляются фиктивные силы — центробежные и кориолисовы. Гравитационный потенциал обобщается до эффективного потенциала, включающего центробежную часть:
$$ \varphi_{\text{эфф}} = \varphi - \frac{1}{2} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^2 $$
где ω — угловая скорость вращения системы. Эта модификация особенно важна для геофизики и астрофизики.
В двумерных проекциях гравитационного поля удобно использовать изопотенциальные линии — проекции эквипотенциальных поверхностей. Они применяются при анализе приливных эффектов, структур галактик, форм тел в поле тяжести (например, геоид Земли).
Математическая формулировка ньютоновской гравитации полностью аналогична электростатике. Эта аналогия позволяет использовать методы, развитые в электростатике, — метод изображений, мультипольное разложение, интегральные теоремы Гаусса и Стокса. Разница лишь в знаке взаимодействия: масса всегда положительна и порождает притяжение.
На больших масштабах гравитационный потенциал — ключевая величина для описания структуры Вселенной. Он входит в метрические теории (например, метрику Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера) и участвует в расчётах движения галактик, формировании гравитационных линз и флуктуаций космического микроволнового фона.
Для слабого гравитационного поля, в рамках приближения общей теории относительности, метрика пространства-времени принимает вид:
ds2 = −(1 + 2φ/c2)c2dt2 + (1 − 2φ/c2)dr2
что подчёркивает прямую связь гравитационного потенциала с искривлением пространства-времени.