Канонический подход к квантовой гравитации опирается на представление о гравитационном поле как о системе с бесконечным числом степеней свободы, допускающей каноническое описание. Основой является 3+1-разложение пространства-времени — ADM-формализм (Арно, Дезер и Мизнер). Пространственно-временной многообразие ℳ представляется как серия трёхмерных пространственных срезов Σt, параметризуемых временем t. Метрика пространства-времени gμν выражается через трёхмерную метрику hab на Σt, а также сдвиг Na и лапс-функцию N.
Метрика принимает вид:
ds2 = −N2dt2 + hab(dxa + Nadt)(dxb + Nbdt)
где:
Переход к каноническому описанию требует определения сопряжённых переменных. Переменной конфигурации выступает hab, а её канонически сопряжённой величиной — тензор πab, связанный с внешней кривизной гиперповерхности. Полный гамильтониан выражается как линейная комбинация первичных ограничений:
H = ∫d3x(Nℋ⟂ + Naℋa)
где:
Явные выражения:
$$ \mathcal{H}_\perp = \frac{1}{\sqrt{h}} \left( \pi^{ab} \pi_{ab} - \frac{1}{2} \pi^2 \right) - \sqrt{h} R^{(3)} $$
ℋa = −2Dbπab
где R(3) — скалярная кривизна трёхмерной метрики, Db — ковариантная производная по hab, π = habπab.
Уравнения движения следуют из вариационного принципа по каноническим переменным и дают динамику в форме уравнений Гамильтона.
Каноническая формализация приводит к необычной черте: гамильтониан есть сумма ограничений, и эволюция по “времени” в каноническом смысле — это перемещение в направлении, порождённом ограничениями. Следовательно, физические состояния должны быть инвариантны относительно такой “временной” эволюции. Это приводит к т.н. проблеме времени: в квантовой гравитации отсутствует внешняя временная переменная, с которой можно было бы соотнести развитие.
В квантовой теории это проявляется тем, что гамильтоново ограничение превращается в уравнение:
$$ \hat{\mathcal{H}}_\perp \Psi[h_{ab}] = 0 $$
Это уравнение Уилера — ДеВитта, аналог уравнения Шрёдингера, но без производной по времени.
Уравнение имеет вид:
$$ \left( -16\pi G G_{abcd} \frac{\delta^2}{\delta h_{ab} \delta h_{cd}} + \frac{\sqrt{h}}{16\pi G} R^{(3)} \right) \Psi[h_{ab}] = 0 $$
где Gabcd — суперметрика ДеВитта:
$$ G_{abcd} = \frac{1}{2\sqrt{h}} \left( h_{ac} h_{bd} + h_{ad} h_{bc} - h_{ab} h_{cd} \right) $$
Это уравнение описывает “стационарное” квантовое состояние всей геометрии. Оно гиперболическое в функциональном пространстве, что затрудняет интерпретацию Ψ как обычной волновой функции.
Пространство состояний определяется как множество волновых функционалов Ψ[hab], удовлетворяющих всем ограничениям:
$$ \hat{\mathcal{H}}_\perp \Psi = 0,\quad \hat{\mathcal{H}}_a \Psi = 0 $$
Групповая структура этих ограничений образует алгебру ограничений, аналог диффеоморфизмов пространства-времени. Однако, в квантовом случае алгебра может быть нарушена — появляется проблема анома́лий.
Из-за отсутствия глобального времени невозможно определить эволюцию в стандартном смысле. Некоторые подходы решают это, выбирая внутреннюю временную переменную, например, объём вселенной или скалярное поле, чтобы выразить динамику относительно них.
Для изучения канонического подхода применяются минисуперкосмологические модели, где пространство-гипотезы существенно ограничивается симметриями (например, однородностью и изотропностью). В таких моделях переменная hab зависит только от времени, и уравнение Уилера — ДеВитта становится ОДУ:
$$ \left( -\frac{d^2}{da^2} + U(a) \right)\Psi(a) = 0 $$
где a — масштабный фактор, U(a) — эффективный потенциал, зависящий от материи и кривизны. Такое уравнение напоминает квантовомеханическое уравнение для частицы в потенциале. Оно позволяет анализировать, например, туннелирование вселенной из “ничего” (подход Вилера и Хартла).
Канонический подход явно нарушает четырехмерную ковариантность ОТО, выделяя направление времени через фолиацию. Возникает вопрос: не означает ли это нарушение фундаментального принципа общей теории относительности?
Современные методы, такие как формализм асимптотических симметрий и мультифингерное время, направлены на восстановление этой ковариантности или её переформулировку в терминах инвариантных наблюдаемых. Тем не менее, сохранение канонической структуры требует фиксации фолиирования, что остаётся философски и физически спорным моментом.
На базе канонического подхода развился альтернативный метод — петлевая квантовая гравитация (ПКГ). Здесь переменные ADM заменяются на переменные Аштекара: SU(2)-связность Aai и сопряжённое векторное поле Eia, играющее роль плотности триад.
Гамильтонов подход в этой формализации приводит к квантованию в пространстве функционалов от петлевых переменных, где операторы геометрических величин, таких как длина, площадь, объём, обладают дискретным спектром.
Уравнение Уилера — ДеВитта заменяется на квантовое уравнение ограничений ПКГ, действующее на спин-сетевые состояния, образующие базис в гильбертовом пространстве. Это позволяет говорить о “квантовой геометрии” без непрерывного фона.
Канонический подход отличается от путь-интегрального подхода (например, формализма сумм по историям в квантовой космологии) своей опорой на пространственные фолии и канонические переменные. Он предоставляет точную структуру ограничений, но сталкивается с трудностями при определении внутреннего времени и интерпретации волновой функции вселенной.
Путь-интегральный подход (например, хартловско-хокинговская амплитуда “no-boundary”) предлагает альтернативу в виде интеграла по метрикам и топологиям, но лишён чёткой гамильтоновой структуры.
Тем не менее, обе схемы стремятся к общей цели — квантовому описанию гравитации, в рамках которого искривление пространства-времени само становится квантовым объектом.
Канонический подход продолжает развиваться в рамках как концептуальных, так и прикладных направлений. Его использование в петлевой гравитации, космологических моделях и попытках объединения с материей показывает потенциал этого подхода. Однако остаются фундаментальные проблемы:
Будущее канонической квантовой гравитации, возможно, лежит в её синтезе с другими подходами — как с петлевыми, так и с голографическими или асимптотическими методами.