В рамках общей теории относительности уравнения гравитационного поля Эйнштейна связывают геометрию пространства-времени с распределением энергии и импульса вещества и полей. Однако симметрийные и математические основания позволяют модифицировать левую часть этих уравнений — т.е. геометрический тензор — добавлением дополнительного тензорного члена, пропорционального метрике. Это приводит к появлению космологической постоянной Λ, и вид уравнений Эйнштейна приобретает следующую форму:
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
Здесь:
Член Λgμν совместим с принципом общей ковариантности и не нарушает симметрий Лоренца. Он единственно возможен при построении тензора второго ранга, линейного по метрике, не содержащего производных. Его наличие обосновано тем, что уравнение Эйнштейна может быть обобщено с учётом всех допустимых геометрических инвариантов второго ранга, совместимых с сохранением тензора энергии-импульса.
Дополнительный член не нарушает закон сохранения энергии-импульса, поскольку ковариантная дивергенция gμν тождественно равна нулю:
∇μgμν = 0
Поэтому и ∇μ(Λgμν) = 0, и, следовательно, ∇μTμν = 0 по-прежнему выполняется.
С современной точки зрения, космологическую постоянную интерпретируют как вклад энергии вакуума в уравнения гравитационного поля. Это эквивалентно переносу соответствующего члена из левой части уравнения в правую, рассматривая его как дополнительный вклад в тензор энергии-импульса:
$$ T^{(\Lambda)}_{\mu\nu} = -\frac{c^4}{8\pi G} \Lambda g_{\mu\nu} $$
Такой тензор по форме идентичен тензору энергии-импульса идеальной жидкости с плотностью энергии ρΛ и давлением pΛ, связанными соотношениями:
$$ \rho_\Lambda = \frac{\Lambda c^2}{8\pi G}, \quad p_\Lambda = -\rho_\Lambda c^2 $$
Таким образом, давление вакуума оказывается отрицательным. Это фундаментальное свойство и приводит к ускоренному расширению Вселенной, поскольку отрицательное давление действует как антигравитация.
В космологии уравнения Фридмана, описывающие эволюцию однородной и изотропной Вселенной, модифицируются с учётом космологической постоянной. Первый закон Фридмана принимает вид:
$$ \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3} $$
Здесь:
Космологическая постоянная ведёт себя как постоянная энергия, не зависящая от масштабного фактора. Поэтому на больших временных масштабах, когда вклад материи и излучения уменьшается как a−3 и a−4, вклад Λ начинает доминировать. Это приводит к фазе ускоренного расширения, которое наблюдается в современной Вселенной.
В 1998 году наблюдения сверхновых типа Ia показали, что удалённые галактики удаляются с ускорением. Это открытие дало прямое указание на существование тёмной энергии — формы энергии с отрицательным давлением. Космологическая постоянная является простейшей моделью тёмной энергии и, несмотря на альтернативные гипотезы (например, квинтэссенция), остаётся в основе современной космологической модели — ΛCDM-модели.
В этой модели плотность энергии Вселенной составляется примерно из следующих компонентов:
Эти соотношения определяются данными наблюдательной космологии: реликтовым излучением, барионными акустическими осцилляциями, крупномасштабной структурой Вселенной и наблюдением сверхновых.
Существует фундаментальная проблема — проблема космологической постоянной, заключающаяся в следующем. Квантовая теория поля предсказывает чрезвычайно высокую плотность энергии вакуума (вплоть до ∼ 10120 раз выше наблюдаемой). Однако наблюдения показывают, что Λ чрезвычайно мала:
Λ ≈ 1.1 × 10−52 m−2
Такое несоответствие между теоретическим прогнозом и наблюдаемой величиной — одно из самых острых противоречий между квантовой теорией и гравитацией.
В ранней Вселенной также существовал механизм, аналогичный космологической постоянной, — инфляционное расширение. Оно объясняет начальные условия для горячей стадии Большого взрыва: однородность, изотропность, плоскость пространства и наличие первичных флуктуаций.
В инфляционной модели динамический аналог Λ реализуется через скалярное поле — инфлатон — с временно доминирующей потенциальной энергией, создающей фазу экспоненциального роста масштабного фактора. По окончании инфляции энергия поля переходит в обычные частицы в процессе перевозбуждения (reheating).
Хотя инфляция и современная космологическая постоянная действуют на разных стадиях эволюции Вселенной, их формальная аналогия подчёркивает фундаментальность концепции Λ.
Во многих обобщениях общей теории относительности космологическая постоянная возникает естественным образом. Например:
Однако большинство таких моделей сталкиваются с проблемой корректного вывода значения Λ, совместимого с наблюдениями, без дополнительной тонкой настройки параметров.
Если рассматривать вакуумное уравнение Эйнштейна с космологической постоянной:
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = 0 $$
или, эквивалентно:
Rμν = Λgμν
то становится ясно, что такое уравнение описывает максимально симметричные пространства с постоянной кривизной:
Эти геометрические решения играют важную роль в математической физике, теории гравитации, голографии (AdS/CFT) и квантовой теории поля в изогнутом пространстве.
Таким образом, космологическая постоянная — это не только параметр в уравнениях Эйнштейна, но и глубоко физическая сущность, связанная с фундаментальными свойствами вакуума, структурой пространства-времени и судьбой Вселенной.