Метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (ФЛРВ)
Основой большинства современных космологических моделей служит метрическое решение уравнений Эйнштейна, предполагающее однородность и изотропность пространства на больших масштабах. В рамках этой идеализации геометрия пространственно-временного континуума описывается метрикой Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛРВ):
$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2) \right], $$
где a(t) — масштабный фактор, зависящий от космического времени t, k ∈ {−1, 0, +1} — параметр кривизны, определяющий пространственную геометрию (гиперболическую, плоскую или сферическую соответственно).
Космологический принцип и симметрии пространства
Метрическая форма ФЛРВ напрямую следует из космологического принципа — предположения о том, что Вселенная в среднем однородна и изотропна. Это означает, что существует такой класс наблюдателей (комовские наблюдатели), для которых сечения t = const имеют однородную и изотропную трёхмерную геометрию. Все такие пространства с постоянной кривизной могут быть классифицированы как:
Энергетическое наполнение и тензор энергии-импульса
Для моделирования вещества во Вселенной используется идеализированный тензор энергии-импульса идеальной жидкости:
Tμν = (ρ + p/c2)uμuν + p gμν,
где ρ — плотность энергии, p — давление, uμ — 4-скорость комовского наблюдателя. Такое описание допускает наличие различных компонентов вещества: пыль (материя без давления), излучение, космологическая постоянная и др.
Уравнения Фридмана
Подстановка тензора энергии-импульса в уравнения Эйнштейна с космологическим членом
$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
приводит к системе дифференциальных уравнений на масштабный фактор a(t). Первое уравнение Фридмана:
$$ \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}, $$
второе уравнение Фридмана (или уравнение ускорения):
$$ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3}. $$
Эти уравнения описывают динамику расширения (или сжатия) однородной и изотропной Вселенной, зависящую от состава вещества и космологических параметров.
Энергетическое уравнение и закон сохранения
Из уравнений Эйнштейна следует дифференциальное уравнение сохранения энергии:
$$ \dot{\rho} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \left( \rho + \frac{p}{c^2} \right) = 0. $$
Это выражает закон сохранения энергии-импульса ∇μTμν = 0 в космологической модели. Оно может быть интерпретировано как уравнение изменения плотности энергии при адиабатическом расширении Вселенной.
Эволюция масштаба при разных уравнениях состояния
Рассмотрим уравнение состояния в форме p = wρc2, где w — постоянная. Важные случаи:
Подставляя соответствующую зависимость ρ(a) в первое уравнение Фридмана, можно получить аналитические выражения для масштабного фактора во времени. Примеры:
a(t) ∝ t2/3.
a(t) ∝ t1/2.
$$ a(t) \propto e^{H t}, \quad H = \sqrt{\frac{\Lambda c^2}{3}}. $$
Космологическое расстояние и красное смещение
Поскольку метрика ФЛРВ позволяет вычислять расстояния и времена в расширяющейся Вселенной, важным является понятие красного смещения:
$$ 1 + z = \frac{a(t_0)}{a(t_\text{изл})}, $$
где a(t0) — масштабный фактор сегодня, а a(tизл) — в момент излучения света.
Свет, движущийся по нулевой геодезической ds2 = 0, удовлетворяет:
$$ \int_0^{r} \frac{dr}{\sqrt{1 - k r^2}} = \int_{t_\text{изл}}^{t_0} \frac{c\, dt}{a(t)}. $$
Это определяет так называемое световое расстояние и позволяет выразить наблюдаемые величины (угловой диаметр, светимость) через функции масштабного фактора.
Критическая плотность и параметры плотности
Введем критическую плотность Вселенной:
$$ \rho_c = \frac{3 H^2}{8\pi G}, $$
где H = ȧ/a — текущая величина постоянной Хаббла. Определим параметры плотности:
Первое уравнение Фридмана можно переписать в виде:
Ωm + Ωr + ΩΛ + Ωk = 1.
Это даёт удобный способ классификации моделей: при Ωk = 0 Вселенная геометрически плоская, при Ωk > 0 — открытая, при Ωk < 0 — замкнутая.
Качественная динамика: фазы расширения
На основе уравнения ускорения можно предсказать, ускоряется ли или замедляется расширение:
Наблюдаемое в настоящее время ускоренное расширение требует наличия компонента с w < −1/3, что указывает на доминирование тёмной энергии.
Особые решения и сингулярности
Классические модели ФЛРВ обладают начальной сингулярностью: при t = 0 масштабный фактор a(t) = 0, плотность энергии и кривизна стремятся к бесконечности. Это соответствует Большому взрыву. В зависимости от состава возможны разные сценарии:
Интерпретация и наблюдательные следствия
Модель ФЛРВ лежит в основе теоретической интерпретации таких наблюдаемых явлений, как:
Согласие между моделью ФЛРВ с Λ, тёмной материей и излучением и наблюдательными данными привело к формированию стандартной космологической модели ΛCDM.