Квадрупольная формула

Квадрупольная формула в гравитационном излучении

В отличие от электромагнитного поля, где дипольный момент играет основную роль в формировании излучения, в общей теории относительности (ОТО) гравитационное излучение обусловлено изменением квадрупольного момента распределения массы. Это фундаментальное отличие связано с тензорной природой гравитационного поля: в линейном приближении гравитационные волны описываются симметричным безтрассовым тензором второго ранга, который не может возникать от скалярного (монопольного) или векторного (дипольного) источника при соблюдении законов сохранения.

Условия возникновения гравитационного излучения

Для генерации гравитационных волн необходимо выполнение следующих условий:

Наличие ускоренно движущихся масс;
Нарушение сферической симметрии в распределении энергии-импульса;
Изменение квадрупольного момента Q_ij(t) во времени.

Таким образом, излучение невозможно в случае строго симметричного, стационарного или равномерного движения — например, изолированная сферическая пульсация звезды не генерирует гравитационных волн.

Квадрупольный момент и его производные

Квадрупольный момент распределения массы определяется как

$$ Q_{ij}(t) = \int \rho(t, \mathbf{x}) \left( x_i x_j - \frac{1}{3} \delta_{ij} \, \mathbf{x}^2 \right) \, d^3x, $$

где:

ρ(t, x) — плотность массы (или энергии в более общей форме);
x_i, x_j — декартовы координаты;
δ_ij — символ Кронекера.

Для возникновения излучения требуется наличие третьей производной квадрупольного момента по времени: именно она непосредственно входит в выражение для потока излучаемой энергии.

Квадрупольная формула Эйнштейна

В линейном приближении ОТО (в рамках линеаризованной теории гравитации) мощность, излучаемая системой в виде гравитационных волн, задаётся квадрупольной формулой Эйнштейна:

$$ P = \frac{G}{5c^5} \left\langle \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}^{ij} \right\rangle, $$

где:

G — гравитационная постоянная;
c — скорость света;
$\dddot{Q}_{ij}$ — третья производная квадрупольного момента по времени;
⟨⋅⟩ — усреднение по времени (обычно по периоду для периодических систем).

Эта формула носит приближённый характер и применима при слабом поле и низких скоростях (постньютоновский предел).

Поток энергии в пространстве

Гравитационные волны уносят энергию, которая может быть измерена через поток энергии, задаваемый компонентами тензора энергии-импульса псевдотензора Ландау-Лифшица или по формуле для плоской волны:

$$ \frac{dE}{dtdA} = \frac{c^3}{16\pi G} \left\langle \dot{h}_{ij}^{\text{TT}} \dot{h}^{ij}_{\text{TT}} \right\rangle, $$

где h_ij^TT — трансверсально-трассированная часть возмущения метрики. Это выражение согласуется с квадрупольной формулой при известной форме волны.

Применение: двойная система тел

Рассмотрим систему из двух тел массами m₁ и m₂, вращающихся по круговой орбите друг вокруг друга. Пусть расстояние между ними — r, орбитальный период — T. Квадрупольная формула даёт мощность гравитационного излучения:

$$ P = \frac{32}{5} \frac{G^4}{c^5} \frac{(m_1 m_2)^2 (m_1 + m_2)}{r^5}. $$

Это выражение лежит в основе объяснения ускоренного сближения пульсаров: уменьшение орбитального периода системы из-за потерь энергии на гравитационное излучение было впервые наблюдено в системе PSR B1913+16, открытой Халсом и Тейлором. Расчётные и наблюдаемые данные совпали с высокой точностью, подтвердив правильность квадрупольной формулы.

Постньютоновские поправки и ограничения

Хотя квадрупольная формула чрезвычайно полезна, она является лишь первым приближением. Для более точного описания (например, при моделировании слияния нейтронных звёзд или чёрных дыр) необходимо учитывать:

Высшие мультипольные члены — октупольные, гексадекапольные и др.;
Постньютоновские поправки — учёт скоростей порядка v/c;
Обратное влияние излучения на динамику системы (реакция на излучение);
Нелинейные эффекты — важны при сильных гравитационных полях.

Все эти эффекты учитываются в рамках эффективной теории поля или численной релативистики.

Энергия и угловой момент, уносимые волнами

Гравитационные волны переносят не только энергию, но и угловой момент, что приводит к изменению орбитальных характеристик системы. Формула для убывания углового момента аналогична по структуре квадрупольной формуле и требует расчёта производных от компонента момента инерции системы.

Квантование и гравитоны

Квадрупольная формула применима в классической теории. В рамках попыток квантования гравитационного поля вводится понятие гравитона — безмассового бозона со спином 2. Однако даже в квантовой теории слабых полей (на плоском фоне) излучение, описываемое квадрупольной формулой, соответствует испусканию гравитонов в количестве, пропорциональном $\dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}^{ij}$.

Вывод квадрупольной формулы

Процедура вывода начинается с линейного приближения уравнений Эйнштейна в вакууме:

$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

где h̄_μν — отклонение метрики в калибровке Лоренца. Решение этого уравнения для удалённых наблюдателей в зоне излучения (далеко от источника) даёт:

$$ h_{ij}^{\text{TT}}(t, \mathbf{x}) = \frac{2G}{c^4 R} \ddot{Q}_{ij}^{\text{TT}}(t - R/c), $$

где R — расстояние до источника. Подстановка этого выражения в формулу для потока энергии приводит к квадрупольной формуле.

Геометрическое значение: тензор гравитационного поля

Излучение связано с изменением кривизны пространства-времени, описываемой тензором Вейля C_μνρσ. В линейном приближении гравитационные волны соответствуют его продольным волнам, распространяющимся со скоростью света. Квадрупольное излучение возникает при изменении симметричной, безтрассовой части пространственно-пространственного компонента этого тензора.

Заключительные замечания о применимости

Квадрупольная формула применима при следующих условиях:

поле слабое: h_μν ≪ 1;
скорости движущихся тел малы: v ≪ c;
система ограничена в пространстве и наблюдение ведётся в «волновой зоне» (на расстоянии R ≫ λ, где λ — длина волны).

Несмотря на эти ограничения, формула даёт исключительно точные предсказания, как показано на примере двойных пульсаров. Она служит основой для расчётов в гравитационной астрофизике, а её обобщения лежат в фундаменте современной гравитационно-волновой астрономии.