Линеаризованная теория гравитации

Основные допущения и область применимости

Линеаризованная теория гравитации — это приближение общей теории относительности, применимое в случае слабого гравитационного поля и малых отклонений от плоского пространства Минковского. В этом приближении метрика g_μν представляется как сумма плоской метрики η_μν и малого возмущения h_μν:

g_μν = η_μν + h_μν,  |h_μν| ≪ 1

Такой подход позволяет существенно упростить уравнения Эйнштейна, линейизируя их по h_μν, что делает возможным анализ распространения гравитационных возмущений, интерпретацию гравитационных волн, а также сопоставление с ньютоновским пределом.

Линеаризация уравнений Эйнштейна

Начнём с разложения метрических величин. Поскольку h_μν мал, можно вычислить геометрические объекты (аффинное соединение, тензор Римана, Риччи и скаляр кривизны) в первом порядке по h_μν.

Пусть h = h _μ^μ = η^μνh_μν — след возмущения. Тогда вариация тензора Риччи первого порядка имеет вид:

$$ \delta R_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \left( \partial^\lambda \partial_\mu h_{\lambda\nu} + \partial^\lambda \partial_\nu h_{\lambda\mu} - \Box h_{\mu\nu} - \partial_\mu \partial_\nu h \right) $$

а скалярная кривизна:

δR = ∂_μ∂_νh^μν − □h

Подставляя в уравнение Эйнштейна (в системе единиц c = 1, G = 1):

$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 8\pi T_{\mu\nu} $$

получаем линеаризованную форму:

□h̄_μν = −16πT_μν

где введён калиброванный тензор h̄_μν:

$$ \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h $$

Выбор калибровки: калибровка Лоренца

Для упрощения анализа вводится калибровочное условие Лоренца:

∂^νh̄_μν = 0

Это условие не фиксирует калибровку полностью — остаются остаточные преобразования, сохраняющие условие. При этом уравнение приобретает особенно простой вид волнового уравнения:

□h̄_μν = −16πT_μν

В вакууме, где T_μν = 0, уравнение принимает форму свободного волнового уравнения:

□h̄_μν = 0

что означает, что гравитационные возмущения распространяются как волны со скоростью света.

Гравитационные волны

В линеаризованной теории в вакууме возможны плоские волновые решения уравнений:

h̄_μν(x) = A_μνe^ik_λxλ

где волновой вектор k^μ удовлетворяет условию:

k^μk_μ = 0

что означает нулевую массу — гравитон безмассов. Амплитуда A_μν — постоянный тензор, подчинённый калибровочному условию:

k^νA_μν = 0

Чтобы выделить физически значимые степени свободы, накладывается дополнительная калибровка — поперечно-трассировочная (transverse-traceless, TT):

h̄_0μ^TT = 0,  ∂ⁱh̄_ij^TT = 0,  h̄^TT = 0

В этой калибровке остаются только два независимых компонента — две поляризации гравитационной волны: h₊ и h_×, характеризующие тензорные колебания пространства-времени.

Сравнение с ньютоновским пределом

Линеаризованная теория должна воспроизводить ньютоновский закон гравитации при v ≪ c и слабом поле. В этом пределе метрическое возмущение имеет только компоненту h₀₀, и:

h₀₀ = −2Φ

где Φ — ньютоновский гравитационный потенциал. Подстановка в линеаризованное уравнение Эйнштейна даёт:

ΔΦ = 4πρ

что совпадает с уравнением Пуассона ньютоновской гравитации. Это демонстрирует согласованность линеаризованной ОТО с классическим пределом.

Свободный гравитон и спиновая структура

Линеаризованная теория описывает безмассовое поле со спином 2. Это следует из того, что h_μν — симметричный тензор второго ранга, и после учёта калибровок остаются две независимые степени свободы. Именно это согласуется с группой Лоренца и классификацией полей по представлениям группы Пуанкаре.

Энергия гравитационного поля

В полном варианте ОТО невозможно локализовать гравитационную энергию, однако в линеаризованной теории можно определить псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля. Один из наиболее используемых вариантов — псевдотензор Ландау–Лифшица. В области, где поле слабое, поток энергии гравитационных волн описывается формулой:

$$ \left\langle \frac{dE}{dt\, dA} \right\rangle = \frac{1}{32\pi} \left\langle \dot{h}_{ij}^{\text{TT}} \dot{h}_{ij}^{\text{TT}} \right\rangle $$

где угловые скобки обозначают усреднение по времени.

Источники гравитационного излучения

В отличие от электродинамики, где дипольный момент системы определяет ведущий вклад в излучение, в гравитации по симметрийным соображениям ведущим является квадрупольный момент массы. Мощность гравитационного излучения определяется квадрупольной формулой:

$$ P = \frac{1}{5} \left\langle \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}^{ij} \right\rangle $$

где Q_ij — тензорный квадрупольный момент системы, а точки обозначают производные по времени. Эта формула лежит в основе количественного анализа излучения двойных звёздных систем, таких как система PSR B1913+16, открытая Халсом и Тейлором.

Остаточные калибровочные преобразования

Калибровочные преобразования линеаризованной теории имеют вид:

h_μν → h_μν + ∂_μξ_ν + ∂_νξ_μ

при этом h̄_μν → h̄_μν − η_μν∂^λξ_λ. При соблюдении условия □ξ^μ = 0 сохраняется калибровка Лоренца. Эти преобразования позволяют исключить нефизические компоненты тензора h_μν и выделить истинные степени свободы — две поляризации.

Интерпретация как квантового поля

Линеаризованная гравитация лежит в основе подходов к квантованию гравитационного поля как спин-2 бозона (гравитона). Рассматривая h_μν как квантовое поле на фоне плоского пространства, получают теорию, аналогичную квантовой теории электромагнитного поля, но с более сложной структурой взаимодействий. Однако линеаризованная теория сама по себе не является полной квантовой теорией гравитации, так как она неприменима при сильных полях и не учитывает обратного влияния гравитонов на фон.

Заключительная ремарка

Линеаризованная теория гравитации является ключевым инструментом для анализа слабых гравитационных полей, распространения гравитационных волн, сопоставления с классическими теориями и построения мостов к квантовым представлениям. Её методы лежат в основе теоретического фундамента современной гравитационной волновой астрономии.