Псевдориманово многообразие — это основа математического описания гравитационного поля в общей теории относительности. Многообразие ℳ размерности n, снабжённое симметричным (0,2)-тензором gμν, называется псевдоримановым, если gμν невырожден и имеет сигнатуру (−, +, +, +) (в четырёхмерном случае).
Метрика gμν(x) определяет расстояния и углы на многообразии, а также задаёт структуру пространства-времени. Для произвольных двух точек xμ и xμ + dxμ элемент длины (интервал) записывается в виде:
ds2 = gμν(x)dxμdxν.
Типы интервалов:
Для дифференцирования тензоров в изогнутом пространстве-времени используется ковариантная производная, выражающаяся через символы Кристоффеля второго рода:
$$ \Gamma^\rho_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\rho\sigma} \left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right). $$
Ковариантная производная тензора второго ранга:
∇λTμν = ∂λTμν + ΓλσμTσν + ΓλσνTμσ.
Символы Кристоффеля не являются тензорами, но они незаменимы в построении тензоров кривизны и геодезических уравнений.
Геодезические линии — это обобщение прямых линий на изогнутом многообразии. Они описывают траектории свободно падающих частиц. Уравнение геодезической:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\rho}{d\tau} = 0, $$
где τ — собственное время или аффинный параметр.
Тензор Римана описывает кривизну пространства-времени и определяет, насколько вектор меняет своё направление после параллельного переноса по замкнутому контуру.
Он выражается через символы Кристоффеля:
R σμνρ = ∂μΓνσρ − ∂νΓμσρ + ΓμλρΓνσλ − ΓνλρΓμσλ.
Свойства тензора Римана:
Антисимметрия: R σμνρ = −R σνμρ,
Перестановочные симметрии:
Rρσμν = −Rσρμν = −Rρσνμ = Rμνρσ,
Тождество Бианки:
∇λR σμνρ + ∇μR σνλρ + ∇νR σλμρ = 0.
Тензор Риччи — результат свёртки тензора Римана:
Rμν = R μρνρ.
Скаляp кривизны (скаляр Риччи):
R = gμνRμν.
Тензор Риччи и скаляр кривизны входят в уравнения Эйнштейна и определяют локальную структуру гравитационного поля.
Ключевая величина в уравнениях общей теории относительности:
$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R. $$
Тензор Эйнштейна удовлетворяет тождеству ∇μGμν = 0, что отражает сохранение энергии-импульса в гравитационном поле.
Основное уравнение гравитационной теории Эйнштейна:
$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$
где Tμν — тензор энергии-импульса, Λ — космологическая постоянная, G — гравитационная постоянная, c — скорость света.
Уравнения связывают геометрию пространства-времени с распределением материи и энергии.
Свёртка индексов: уменьшает ранг тензора. Например:
A μμ = трасса тензора A νμ.
Поднятие и опускание индексов: осуществляется с помощью метрического тензора:
Aμ = gμνAν, Aμ = gμνAν.
Тензорное произведение: создаёт тензоры более высокого ранга. Для тензоров Aμ и Bν:
Cμν = AμBν.
Идентичность первого Бианки (для тензора Римана):
Rμ[νρσ] = 0.
Идентичность второго Бианки (для тензора Римана):
∇[λRμν]ρσ = 0.
Тождество симметрии тензора Риччи:
Rμν = Rνμ.
Убийевы векторы — векторные поля ξμ, при которых сохраняется метрика:
ℒξgμν = 0 ⇒ ∇μξν + ∇νξμ = 0.
Они соответствуют изометриям пространства-времени и используются для поиска законов сохранения (по теореме Нётер).
Для интегрирования по многообразию используется инвариантная мера объёма:
$$ dV = \sqrt{-g} \, d^4x, $$
где g = det (gμν). Эта величина инвариантна относительно координатных преобразований.
Действие Эйнштейна–Гильберта:
$$ S = \frac{c^3}{16\pi G} \int R \sqrt{-g} \, d^4x + S_{\text{материи}}. $$
Вариация действия по метрике gμν приводит к уравнениям Эйнштейна:
$$ \delta S = 0 \Rightarrow G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$
Для корректного варьирования действия необходим учёт поверхностных членов. Наиболее известный из них — член Гиббонса–Хоукинга–Йорка, добавляемый при наличии границы:
$$ S_{\text{границы}} = \frac{1}{8\pi G} \int_{\partial \mathcal{M}} K \sqrt{h} \, d^3x, $$
где K — след внешней кривизны, h — индуцированная метрика на границе.
Тензоры преобразуются при изменении координат по правилу:
$$ T'^{\mu'\nu'}_{\ \ \ \rho'\sigma'} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu} \frac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^\nu} \frac{\partial x^\rho}{\partial x^{\rho'}} \frac{\partial x^\sigma}{\partial x^{\sigma'}} T^{\mu\nu}_{\ \ \rho\sigma}. $$
Метрика трансформируется как (0,2)-тензор:
$$ g'_{\mu'\nu'} = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu'}} g_{\mu\nu}. $$
Минкавского (плоское пространство):
gμν = ημν = diag(−1, +1, +1, +1).
Шварцшильда (вне сферически симметричного тела):
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2. $$
Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (FLRW):
$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2 \right], $$
где a(t) — масштабный фактор, k — пространственная кривизна.
Эти математические инструменты являются краеугольным камнем гравитационной физики, формализуя понятие кривизны, гравитационного взаимодействия и динамики материи в рамках общей теории относительности.