Тензорное описание гравитационного поля
Гравитационная физика, как раздел общей теории относительности, оперирует математическим аппаратом римановой геометрии, в основе которой лежит понятие метрического тензора gμν. Этот симметричный тензор второго ранга определяет расстояния и углы на многообразии, описывающем искривлённое пространство-время. Все геометрические и физические характеристики гравитационного поля выводятся из gμν и его производных.
Для описания гравитационной динамики важнейшим объектом является тензор кривизны Римана:
R σμνρ = ∂μΓνσρ − ∂νΓμσρ + ΓμλρΓνσλ − ΓνλρΓμσλ,
где Γμνρ — символы Кристоффеля, определяемые через производные от метрического тензора:
$$ \Gamma^\rho_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\rho\lambda} \left( \partial_\mu g_{\lambda\nu} + \partial_\nu g_{\lambda\mu} - \partial_\lambda g_{\mu\nu} \right). $$
Контракции тензора Римана дают тензор Риччи Rμν = R μλνλ и скаляр Риччи R = gμνRμν. Эти величины являются центральными в уравнениях Эйнштейна.
Уравнения Эйнштейна
Полевые уравнения гравитации в общей теории относительности выражаются как:
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$
где:
Левая часть уравнения описывает геометрию, правая — материю и поля. Эти уравнения устанавливают связь между материей и кривизной пространства-времени.
Ковариантное дифференцирование и геодезические линии
В криволинейных координатах производные физических величин заменяются ковариантными производными. Для векторного поля Vμ:
∇νVμ = ∂νVμ + ΓνλμVλ.
Движение пробной частицы в гравитационном поле описывается геодезическим уравнением:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\lambda} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\lambda}{d\tau} = 0, $$
где τ — собственное время. Геодезическая линия — это аналог прямой линии в искривлённом пространстве-времени, и траектория свободно движущегося тела следует ей.
Принцип эквивалентности и локальная инерциальная система
Важнейшее основание математического аппарата гравитационной физики — принцип эквивалентности. В малой окрестности любой точки можно ввести локальную инерциальную систему координат, в которой gμν ≈ ημν, а Γνλμ ≈ 0, где ημν — метрика Минковского. Это приводит к локальному исчезновению гравитационных эффектов, что позволяет использовать локально специальную теорию относительности.
Калибровочная инвариантность и тензор гравитации
Уравнения Эйнштейна инвариантны относительно диффеоморфизмов — гладких преобразований координат. Это соответствует обобщённой калибровочной инвариантности. Метрика gμν — не скалярное поле, а тензор, который преобразуется при изменении координат.
Физически наблюдаемые величины должны быть инвариантны относительно таких преобразований. Например, скалярная кривизна R и инварианты, построенные из тензора Римана, являются истинно геометрическими, независимыми от выбора координат.
Тензор Вейля и гравитационные волны
В 4-мерном пространстве особую роль играет тензор Вейля C σμνρ, описывающий ту часть кривизны, которая не зависит от тензора энергии-импульса. Это чисто геометрическая характеристика, ответственная за свободную гравитацию — например, гравитационные волны.
В линейном приближении при малых возмущениях hμν на фоне плоского пространства gμν = ημν + hμν, уравнения Эйнштейна сводятся к волновому уравнению:
$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$
где h̄μν — откалиброванное возмущение метрики в поперечно-трассировочной (TT) калибровке. При Tμν = 0, решение описывает гравитационные волны, распространяющиеся со скоростью света.
Топология и глобальная структура
Математический аппарат гравитационной физики выходит за рамки дифференцируемой геометрии. Рассматриваются глобальные свойства многообразия, включая его топологию, причинную структуру, наличие горизонтов событий и особенностей. Для этого применяются инструменты топологии многообразий, теория касательных расслоений и методы пенроузовской каузальной диаграмматики.
В частности, при исследовании чёрных дыр применяется понятие пенроузовского диаграммного отображения, позволяющее свести бесконечности к конечным расстояниям с сохранением причинной структуры. Это удобно для анализа гравитационного коллапса и сингулярностей.
Вариационные принципы и лагранжианы
Гравитационная теория имеет лагранжеву формулировку. Основное действие — действие Эйнштейна–Гильберта:
$$ S = \frac{c^3}{16\pi G} \int R \sqrt{-g} \, d^4x + S_\text{matter}, $$
где g — детерминант метрического тензора. Вариация по gμν даёт уравнения Эйнштейна. Дополнительные члены в лагранжиане позволяют включать тёмную энергию, модифицировать гравитацию (например, f(R)-теории) и включать скалярные поля.
Симметрии и законы сохранения
В гравитационной физике законов сохранения энергии и импульса в общем виде нет, поскольку отсутствует глобальное время. Однако, при наличии симметрий (например, стационарность или изотропия), можно формулировать законы сохранения через тензор энергии-импульса и токи Ноэтера. В случае асимптотически плоских пространств, возможна формулировка массы Арновада–Дезера–Мизнера (ADM-массы) и энергии Бонди.
Математические особенности в разных теориях гравитации
В альтернативных теориях (например, теория Бранса–Дикке, телепараллельная гравитация, би-метрические теории) используются иные геометрические объекты:
Каждая из этих теорий требует соответствующего расширения математического аппарата: введения связностей с кручением, других инвариантов Лагранжа, новых форм варьирования действия.
Сингулярности и теоремы Пенроуза–Хокинга
Особое место в математике гравитационной физики занимают теоремы о сингулярностях. Они формализуют условия, при которых возникает гравитационный коллапс или начальная сингулярность Вселенной. Эти теоремы опираются на понятия фокусировки геодезик, энергиных условий и глобальных топологических свойств пространства-времени. Они показывают, что при определённых физических предпосылках (например, неотрицательная энергия) сингулярности — неизбежны.
Гиперболичность уравнений и численные методы
Уравнения Эйнштейна представляют собой систему нелинейных гиперболических уравнений в частных производных. Для их численного решения применяются методы разложения по времени и пространству, адаптивные сетки, условия Коши и методы эволюции геометрии. Это составляет основу численной релятивистской гравитации и моделирования таких процессов, как слияние чёрных дыр и нейтронных звёзд.
Формализм Арновитта–Дезера–Мизнера (ADM)
Для перехода к каноническому гамильтонову описанию общей теории относительности применяется ADM-разложение. Пространственно-временная метрика разделяется на 3+1 форму с выделением пространственного сечения и времени:
ds2 = −α2dt2 + γij(dxi + βidt)(dxj + βjdt),
где:
Это позволяет использовать аппарат канонического квантования и проводить численное моделирование временной эволюции гравитационных систем.
Вывод
Математический аппарат гравитационной физики — это глубоко геометрическая и тензорная структура, объединяющая дифференциальную геометрию, топологию, вариационные принципы и теорию уравнений в частных производных. Он необходим для точного и непротиворечивого описания как локальных гравитационных эффектов, так и глобальной структуры Вселенной.