При моделировании взаимодействий и слияний чёрных дыр в общей теории относительности возникает необходимость эффективно описывать динамически эволюционирующие системы, содержащие несколько сильно гравитирующих тел. Одним из наиболее успешных подходов к такой задаче является метод движущихся проколотых чёрных дыр (moving puncture method), который широко применяется в численных решениях уравнений Эйнштейна. Он представляет собой способ избежать явного моделирования физической сингулярности, позволяя корректно прослеживать пространственно-временную эволюцию чёрных дыр на конечной вычислительной сетке.
В рамках численной теории относительности принято использовать 3+1 разложение метрики, при котором пространство-время рассматривается как последовательность пространственных гиперповерхностей Σt, параметризованных временем t. Пространственная метрика на каждой гиперповерхности γij и её сопряжённое импульсное поле — экструдированный кривизной тензор Kij — составляют начальные данные.
Для изолированной стационарной чёрной дыры, например решения Шварцшильда, можно построить координатное описание, в котором внутренняя часть чёрной дыры (область внутри горизонта событий) удаляется из вычислительной области и заменяется «проколом» — точкой с определёнными граничными условиями, которая соответствует асимптотически плоскому внутреннему листу продолженного пространства-времени.
Впервые такое описание было реализовано в метрике Брандена-Бругмана — координатном представлении пространственно-временной геометрии Шварцшильда, в котором прокол располагается в координатной точке, и метрика остаётся регулярной вне этой точки, несмотря на существование геометрической сингулярности.
В методе движущихся проколов (2005–2006 гг., независимые работы групп Campanelli–Lousto–Marronetti–Zlochower и Baker–Centrella–Choi–Koppitz–van Meter) основная идея заключается в следующем:
В отличие от более ранних подходов, таких как метод изрезанных чёрных дыр (excision method), где сингулярность удаляется из вычислительной области путём вырезания внутренней области из сетки, метод движущихся проколов сохраняет всю область в сетке, включая точки проколов.
Метод движущихся проколов реализуется в рамках формализма BSSN (Baumgarte–Shapiro–Shibata–Nakamura), который представляет собой модифицированное 3+1 разложение уравнений Эйнштейна. В этом формализме исходные переменные заменяются следующими:
Конформная метрика:
γ̃ij = e−4ϕγij, с det (γ̃ij) = 1
Конформная кривизна:
$$ \tilde{A}_{ij} = e^{-4\phi} \left(K_{ij} - \frac{1}{3} \gamma_{ij} K\right) $$
Трасса экструдированной кривизны K
Конформный фактор ϕ или переменная χ = e−4ϕ
Вспомогательные векторные переменные Γ̃i = −∂jγ̃ij
Эти переменные подставляются в эволюционные уравнения, полученные из уравнений Эйнштейна, и решаются численно.
Ключевым моментом в методе движущихся проколов является правильный выбор условий на сдвиг (βi) и временной калибровки (α, lapse function), поскольку именно они определяют поведение координатной сетки и положение проколов.
Наиболее используемые калибровочные условия:
1+логарифмическое условие lapse-функции:
∂tα = −2αK + βi∂iα
Условие сдвига Гамильтона–Драйвера (Gamma-driver condition):
$$ \partial_t \beta^i = \frac{3}{4} B^i, \quad \partial_t B^i = \partial_t \tilde{\Gamma}^i - \eta B^i $$
Параметр η здесь определяет вязкость сдвига и выбирается эмпирически. Эти условия обеспечивают движение координатной точки прокола вдоль траектории чёрной дыры без физического искажения метрики.
Важнейшая особенность метода заключается в том, что все переменные формализма BSSN остаются регулярными во всех точках сетки, кроме самого центра прокола, который можно охарактеризовать как точку координатной сингулярности.
Сначала считалось, что прокол остаётся на месте, а сдвиг реализует сжатие координатной области — так называемое «раздувание» геометрии внутри чёрной дыры. Однако детальный анализ показал, что прокол перемещается в сетке, а геометрия вокруг него адаптируется к движению.
С течением времени значения lapse-функции α вблизи прокола стремятся к нулю, эффективно «замораживая» эволюцию внутри чёрной дыры, что устраняет необходимость в вырезании области с сингулярностью. Это ключевое преимущество метода.
Начальные данные для движущихся проколов строятся с использованием многопрокольных решений уравнений ограничения, таких как конформно плоские данные Бранденбурга–Бругмана или решения типа Bowen–York.
Каждый прокол характеризуется массой, импульсом и угловым моментом. Эти данные суперпозируются в метрике начального гиперсреза и удовлетворяют уравнениям ограничения — эллиптическим уравнениям на конформный фактор и кривизну.
Решения строятся либо аналитически в приближённой форме, либо численно с использованием методов решения эллиптических уравнений (многосеточные схемы, итерации).
Метод движущихся проколов обладает рядом преимуществ:
Именно благодаря этому методу стало возможным численно смоделировать слияния чёрных дыр с реалистичной потерей энергии на гравитационное излучение, а также получить точные формы сигналов, наблюдаемых в интерферометрах LIGO и Virgo.
Современные численные симуляции на базе метода движущихся проколов реализованы в ряде программных пакетов:
Особое внимание уделяется выбору сеточной топологии, схем численного дифференцирования (высших порядков), а также реализации адаптивного рефинмента сетки (AMR), чтобы эффективно разрешать области вблизи горизонтов.
При численной эволюции система из двух чёрных дыр проходит три стадии:
Метод движущихся проколов позволяет точно прослеживать все три стадии и извлекать формы гравитационных волн с высокими деталями, что крайне важно для сопоставления с наблюдательными данными.
Современные исследования расширяют метод на более общие случаи:
Сохранение стабильности численной эволюции, контроль ошибок и улучшение разрешения остаются центральными задачами в дальнейшей разработке метода.