Метрический тензор и его свойства

Метрический тензор — фундаментальный объект в гравитационной физике и общей теории относительности, обеспечивающий определение расстояний, углов и скалярных произведений в произвольном многообразии. Он симметричен, неневырожден и зависит от выбора координатной системы. На гладком псевдоримановом многообразии (M, g) метрический тензор g представляет собой симметричное (0,2)-тензорное поле, определяющее структуру пространства-времени.

Если xμ — локальные координаты на многообразии, то метрический тензор выражается как:

g = gμν(x) dxμ ⊗ dxν

где gμν(x) = gνμ(x) — компоненты метрического тензора в данной координатной системе.

Свойства метрического тензора

Симметричность

gμν = gνμ

Это свойство следует из природы скалярного произведения и гарантирует, что длина вектора и угол между векторами определены однозначно.

Неневырожденность

det (gμν) ≠ 0

Ненулевой определитель метрического тензора необходим для существования обратного метрического тензора gμν, используемого при поднятии и опускании индексов, а также для определения обратной метрики в лагранжианах и уравнениях движения.

Подпись метрики

В гравитационной физике используется псевдориманова метрика со знакоматурой:

(−, +, +, +)  или  (+, −, −, −)

Выбор знака зависит от конвенции (в теории относительности часто используется первая), но он влияет на уравнения движения и форму лагранжиана.

Поднятие и опускание индексов

Метрический тензор используется для преобразования между ковариантными и контравариантными компонентами тензоров:

Vμ = gμνVν,  Vμ = gμνVν

Здесь gμν — обратная метрика, удовлетворяющая:

gμαgαν = δνμ

Ковариантная форма элементарного интервала

Метрический тензор определяет геометрию пространства-времени через элементарный интервал:

ds2 = gμν(x) dxμdxν

Интервал может быть:

  • Тимподобным, если ds2 < 0
  • Пространственноподобным, если ds2 > 0
  • Нулевым (светоподобным), если ds2 = 0

Эти свойства играют ключевую роль в классификации траекторий и определении причинной структуры.

Связь с кривизной и гравитацией

В общей теории относительности гравитация описывается не как сила, а как кривизна пространства-времени, задаваемая метрикой. Все гравитационные эффекты выводятся из поведения геодезических, определяемых уравнением:

$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\rho}{d\tau} = 0 $$

Здесь Γνρμ — связность Леви-Чивиты, полностью определяемая метрикой:

$$ \Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\rho} \left( \partial_\mu g_{\nu\rho} + \partial_\nu g_{\mu\rho} - \partial_\rho g_{\mu\nu} \right) $$

Следовательно, все сведения о гравитационном поле содержатся в gμν и его производных.

Инвариантность и преобразования координат

Под действием координатного преобразования xμ → xμ′, компоненты метрического тензора трансформируются по тензорному правилу:

$$ g_{\mu'\nu'} = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu'}} g_{\mu\nu} $$

Это гарантирует инвариантность физических законов, записанных в тензорной форме, при произвольных изменениях координат.

Детали локальной инерциальной системы

Согласно принципу эквивалентности, в каждой точке пространства-времени можно ввести локальную инерциальную систему координат, где:

gμν(x0) = ημν,  ∂λgμν(x0) = 0

Но производные второго порядка ∂2gμν(x0) ≠ 0 и связаны с кривизной пространства. Это позволяет приближённо описывать поведение частиц в гравитационном поле как свободное движение в плоском пространстве на малых масштабах.

Энергетико-импульсные тензоры и вариация метрики

Метрика играет ключевую роль в варьировании действия. Например, в общей теории относительности, действие гравитационного поля имеет вид:

$$ S = \frac{1}{16\pi G} \int R \sqrt{-g} \, d^4x $$

где:

  • R — скалярная кривизна (инвариант, построенный из метрики и её производных),
  • g = det (gμν)

Варьируя это действие по метрике δS/δgμν, получают уравнения Эйнштейна:

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 8\pi G T_{\mu\nu} $$

Это ещё раз подчёркивает центральную роль метрики как основного динамического поля в гравитационной теории.

Примеры метрик

Пространство Минковского

gμν = ημν = diag(−1, +1, +1, +1)

Описывает плоское пространство-время в специальной теории относительности.

Метрический тензор Шварцшильда

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{r}\right) dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2 $$

Описывает статическое сферически-симметричное гравитационное поле вне массивного тела.

Метрический тензор Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (FLRW)

$$ ds^2 = -dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2 \right] $$

Применяется в космологии для описания однородной и изотропной Вселенной.

Вариации и функциональные производные

В теории гравитации метрический тензор выступает в роли переменной действия, и все производные по метрике имеют функциональный характер. Например, вариация скалярной кривизны R по gμν приводит к появлению тензоров Эйнштейна. Эта связь позволяет использовать формализм Лагранжа и принципы наименьшего действия в геометрии пространства-времени.

Геометрическое и физическое значение

Метрический тензор кодирует все физические свойства гравитационного поля:

  • определяет расстояния и интервалы;
  • устанавливает причинную структуру;
  • определяет поведение света и частиц;
  • влияет на эволюцию полей через ковариантные производные;
  • регулирует взаимодействие материи и геометрии.

Он является неотъемлемой частью всей формальной структуры теории гравитации, а его вариации приводят к уравнениям, описывающим динамику Вселенной.

Оглавление