Модели Фридмана

Метрика Фридмана – Леметра – Робертсона – Уокера

Для описания однородной и изотропной Вселенной в рамках общей теории относительности используется метрический тензор, соответствующий пространственно-однородному и изотропному пространству. Такой метрикой является метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (FLRW), записываемая в виде:

$$ ds^2 = -c^2dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2) \right], $$

где:

  • t — космологическое время;
  • a(t) — масштабный фактор;
  • k — параметр пространственной кривизны, принимающий значения 0, +1, −1 (соответственно плоская, замкнутая и открытая Вселенная);
  • r, θ, ϕ — сферические координаты.

Космологический принцип

Основой построения моделей Фридмана служит космологический принцип, согласно которому Вселенная в больших масштабах является однородной и изотропной. Это предположение упрощает тензор энергии-импульса до вида идеальной жидкости:

Tμν = (ρ + p/c2)uμuν + p gμν,

где:

  • ρ(t) — плотность энергии;
  • p(t) — давление;
  • uμ — четырёхскорость жидкости.

Уравнения Фридмана

Подстановка метрики FLRW и тензора энергии-импульса в уравнения Эйнштейна:

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}, $$

даёт уравнения Фридмана, описывающие эволюцию масштабного фактора a(t):

  1. Первое уравнение Фридмана:

$$ \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}. $$

  1. Второе уравнение Фридмана:

$$ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3}. $$

Эти два уравнения позволяют определить поведение Вселенной при заданной уравнении состояния вещества.

Уравнение непрерывности

Из уравнений Эйнштейна и тождества Бьянки следует закон сохранения энергии-импульса:

$$ \dot{\rho} + 3\frac{\dot{a}}{a}\left(\rho + \frac{p}{c^2}\right) = 0, $$

который эквивалентен уравнению непрерывности. Оно выражает сохранение энергии в расширяющемся пространстве и описывает, как изменяется плотность энергии с течением времени.

Уравнение состояния и виды материи

Решение уравнений Фридмана зависит от выбора уравнения состояния, связывающего давление и плотность энергии:

p = wρc2,

где параметр w задаёт тип материи:

  • w = 0: пыль (нормальная материя без давления),
  • $w = \frac{1}{3}$: излучение (фотонный или релятивистский газ),
  • w = −1: космологическая постоянная (тёмная энергия).

Решения уравнений Фридмана при различных уравнениях состояния

  1. Пыль (w = 0) Из уравнения непрерывности:

    ρ ∝ a−3,

    т.е. плотность убывает как объём. При Λ = 0 и k = 0, решение первого уравнения Фридмана даёт:

    a(t) ∝ t2/3.

  2. Излучение (w = 1/3) Плотность энергии убывает быстрее:

    ρ ∝ a−4,

    что отражает потерю энергии фотонов вследствие космологического красного смещения. Тогда:

    a(t) ∝ t1/2.

  3. Космологическая постоянная (w = −1) Плотность энергии постоянна:

    $$ \rho = \text{const}, \quad a(t) \propto e^{Ht}, \quad H = \sqrt{\frac{\Lambda c^2}{3}}. $$

    Это соответствует экспоненциальному расширению — режиму инфляции или позднего ускоренного расширения.

Кривизна пространства

Параметр k определяет геометрию трёхмерного пространства:

  • k = +1: пространство замкнуто, имеет положительную кривизну (аналог 3-сферы);
  • k = 0: плоское пространство (евклидова геометрия);
  • k = −1: открытое пространство с отрицательной кривизной (гиперболическая геометрия).

При фиксированной плотности вещества значение k определяет судьбу Вселенной — будет ли она расширяться вечно или коллапсирует в будущем.

Критическая плотность и плотность Вселенной

Вводится критическая плотность — значение плотности, при которой Вселенная плоская (k = 0):

$$ \rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}. $$

Параметр плотности:

$$ \Omega = \frac{\rho}{\rho_c} $$

определяет геометрию пространства:

  • Ω = 1 ⇒ k = 0,
  • Ω > 1 ⇒ k = +1,
  • Ω < 1 ⇒ k = −1.

В современной космологии также вводятся компоненты общей плотности:

  • Ωm — вклад обычной и тёмной материи,
  • Ωr — вклад излучения,
  • ΩΛ — вклад тёмной энергии.

Сумма всех компонент:

Ωtot = Ωm + Ωr + ΩΛ.

Наблюдательные данные (планковская миссия, сверхновые Ia и др.) указывают, что Ωtot ≈ 1, что соответствует почти плоской Вселенной.

Возраст Вселенной и история расширения

Интегрируя уравнение Фридмана, можно выразить возраст Вселенной как:

$$ t_0 = \int_0^{a_0} \frac{da}{aH(a)}. $$

В зависимости от состава Вселенной (материя, излучение, тёмная энергия) получаются различные значения t0. Современные оценки (с учётом тёмной энергии и тёмной материи) дают возраст Вселенной порядка 13.8 млрд лет.

Качественные сценарии эволюции Вселенной

В зависимости от плотности и кривизны возможны различные сценарии:

  • Открытая Вселенная (k = −1, Ω < 1): вечное расширение;
  • Плоская Вселенная (k = 0, Ω = 1): асимптотическое расширение;
  • Замкнутая Вселенная (k = +1, Ω > 1): возможно рецессия и Большой коллапс (Big Crunch);
  • Вселенная с тёмной энергией (Λ > 0): ускоренное расширение, возможно вечное.

Инфляционная модель и переход к современной космологии

Классические модели Фридмана, основанные на обычной материи и излучении, не объясняют:

  • плоскость пространства (проблема плоскости),
  • однородность температуры (проблема горизонта),
  • отсутствие монопольных реликтов (проблема монополий).

Эти проблемы решаются введением инфляционного этапа — фазы сверхбыстрого экспоненциального расширения в ранней Вселенной. В рамках инфляции масштабный фактор растёт как:

a(t) ∝ eHt,

с постоянным H, а плотность определяется эффективным вакуумным состоянием.

Таким образом, модели Фридмана являются фундаментальной частью космологии, обеспечивая математическую основу для описания расширяющейся Вселенной и её геометрических свойств. Их обобщения с учётом квантовых полей, тёмной материи и энергии, а также инфляции, лежат в основе современной физической картины мира.

Оглавление