Модифицированная ньютоновская динамика (MOND)

Основы модифицированной ньютоновской динамики (MOND)

Модифицированная ньютоновская динамика (Modified Newtonian Dynamics, MOND) была предложена Мордехаем Милгромом в начале 1980-х годов как альтернатива гипотезе тёмной материи. Основной посыл MOND заключается в том, что на масштабах слабо ускоренного движения ньютоновские законы перестают работать в их классической форме и должны быть модифицированы. Это объясняет наблюдаемые аномалии, такие как плоские кривые вращения галактик, без необходимости постулировать существование невидимого вещества.

Постулирование основного изменения динамики

Классическая вторая ньютоновская аксиома F⃗ = ma⃗ корректно описывает движение тел при высоких ускорениях. Однако MOND вводит фундаментальный масштаб ускорения a₀ ≈ 1.2 × 10⁻¹⁰ m/s², при котором поведение системы начинает отклоняться от классического.

Основной модифицированный закон движения в MOND записывается как:

$$ \mu\left( \frac{a}{a_0} \right) a = a_N $$

где:

a — истинное ускорение объекта,
a_N — ньютоновское ускорение, вычисленное по закону всемирного тяготения,
μ(x) — интерполяционная функция, удовлетворяющая условиям:

μ(x) → 1 при x ≫ 1 (высокие ускорения),

μ(x) → x при x ≪ 1 (низкие ускорения).

Обычно используют различные формы μ(x), например:

$$ \mu(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \quad (\text{«стандартная» функция}), $$
$$ \mu(x) = \frac{x}{1 + x} \quad (\text{«простая» функция}). $$

Предсказания и объяснение кривых вращения галактик

Одним из наиболее успешных аспектов MOND является его способность естественным образом объяснять плоские кривые вращения дисковых галактик. В рамках ньютоновской динамики скорость вращения звезды вокруг центра галактики v(r) при удалении от центра должна убывать как $v(r) \sim 1/\sqrt{r}$. Однако наблюдения показывают, что v(r) остаётся примерно постоянной при больших r.

В MOND, в низкоускорительном режиме a ≪ a₀, имеем:

$$ \mu\left( \frac{a}{a_0} \right) \approx \frac{a}{a_0}, \quad \Rightarrow \quad \frac{a^2}{a_0} = a_N = \frac{GM}{r^2} $$

Отсюда:

$$ a = \sqrt{a_0 \cdot \frac{GM}{r^2}} = \frac{\sqrt{GMa_0}}{r} $$

И поскольку центростремительное ускорение есть a = v²/r, получаем:

$$ \frac{v^2}{r} = \frac{\sqrt{GMa_0}}{r} \quad \Rightarrow \quad v = (GMa_0)^{1/4} $$

Таким образом, скорость вращения в MOND становится независимой от радиуса и зависит только от массы M, что отлично согласуется с наблюдаемыми данными.

Связь с эмпирическим законом Талли — Фишера

MOND приводит к естественному выводу эмпирического закона Талли — Фишера, который утверждает, что:

L ∝ v⁴

где L — светимость галактики, а v — асимптотическая скорость вращения.

В MOND:

v⁴ = GMa₀ ⇒ M ∝ v⁴

Если предположить, что масса пропорциональна светимости (т.е. постоянное отношение масса/светимость), то этот результат полностью воспроизводит закон Талли — Фишера.

Динамика в квазистационарных системах и эффект внешнего поля

MOND нарушает принцип сильной эквивалентности: на поведение локальной системы влияет не только её собственное гравитационное поле, но и внешнее поле, в котором она находится. Это приводит к эффекту внешнего поля (External Field Effect, EFE) — уникальной особенности MOND, не встречающейся в ньютоновской или релятивистской гравитации.

EFE позволяет объяснить динамику в маломасштабных системах, таких как шаровые скопления, которые находятся под воздействием гравитационного поля галактики. В таких случаях ускорения могут превышать a₀, даже если внутренняя динамика указывала бы на доминирование MOND-режима.

Лагранжева формулировка и теория AQUAL

Для систематического описания MOND была предложена лагранжева теория AQUAL (A QUAdratic Lagrangian):

$$ \mathcal{L} = -\frac{a_0^2}{8\pi G} F\left( \frac{|\nabla \Phi|^2}{a_0^2} \right) - \rho \Phi $$

где Φ — гравитационный потенциал, ρ — плотность массы, F — функция, связанная с μ(x) посредством:

$$ \mu(x) = \frac{dF(x^2)}{dx^2} $$

Из вариационного принципа следует модифицированное уравнение Пуассона:

$$ \nabla \cdot \left[ \mu\left( \frac{|\nabla \Phi|}{a_0} \right) \nabla \Phi \right] = 4\pi G \rho $$

Таким образом, MOND становится теорией потенциала с нелинейным уравнением поля.

Релятивистское обобщение: теория TeVeS

Для полноценного описания гравитационного линзирования и космологических явлений необходимо релятивистское обобщение MOND. Одним из наиболее развитых вариантов является теория TeVeS (Tensor-Vector-Scalar), предложенная Якобом Бекенштейном.

В TeVeS гравитация описывается:

метрическим тензором g_μν,
векторным полем U^μ,
скалярным полем ϕ.

Модификация общей теории относительности происходит путём введения взаимодействия этих полей с материей через эффективную метрику. В TeVeS удаётся воспроизвести MOND в низкоускорительном пределе, а также объяснить гравитационное линзирование и структуру космологического фона.

Проблемы и вызовы MOND

Несмотря на успехи в объяснении вращения галактик, MOND сталкивается с рядом трудностей:

Космология: оригинальная формулировка MOND не объясняет структуру космологических флуктуаций и формирование галактик без введения дополнительной компоненты (например, горячей тёмной материи).
Системы слияния галактик: такие объекты, как кластер пуля (Bullet Cluster), указывают на расхождение между распределением массы и светимости, что трудно согласовать с MOND без введения невидимых компонентов.
Универсальность a₀: значение a₀ должно быть одинаковым во всех галактиках, что требует тонкой настройки, однако его связь с космологическими параметрами, например с cH₀, указывает на возможное фундаментальное происхождение.

Альтернативные подходы и современные разработки

Современные исследования MOND стремятся интегрировать его идеи в более широкие контексты:

Эмерджентная гравитация (Э. Верлинде): MOND-подобное поведение может быть следствием термодинамических или информационных свойств пространства-времени.
Нелокальные модификации гравитации: в некоторых подходах ускорения порядка a₀ возникают как следствие нелокальной динамики.
Биметрические и мультиполевые теории: объединяют MOND-подобные эффекты с тёмной материей в гибридных схемах.

Несмотря на нерешённые проблемы, MOND остаётся мощной и элегантной теоретической альтернативой, глубоко затрагивающей фундаментальные основы динамики и гравитации.