Нелокальные теории гравитации представляют собой обобщение классической теории Эйнштейна, в которой взаимодействие между элементами материи и геометрией пространства-времени зависит не только от локальных значений метрики и её производных в данной точке, но и от их значений в других точках — часто на конечных или бесконечных интервалах. Это явление тесно связано с квантовыми поправками, возникающими в интегрировании по петлям в квантовой теории поля на искривлённом фоне, а также с попытками объяснить ускоренное расширение Вселенной без введения тёмной энергии или модификаций в форме новых полей.
Нелокальные члены возникают естественным образом в эффективном действии гравитации, выводимом из интегрирования квантовых флуктуаций, особенно в теориях с массивными частицами и при рассмотрении петлевых диаграмм, в которых участвуют виртуальные поля, распространяющиеся на большие расстояния.
Общей формой нелокального гравитационного действия служит выражение:
$$ S = \frac{1}{16\pi G} \int d^4x \sqrt{-g} \left[ R + R\,\mathcal{F}(\Box^{-1})R + \cdots \right], $$
где ℱ(□−1) — аналитическая или неаналитическая функция от инверсии d’Аламбертова оператора □ = gμν∇μ∇ν. Такие члены, как R□−1R, Rμν□−1Rμν, Gμν□−1Rμν и другие подобные конструкции, образуют нелокальную динамику, поскольку они зависят от интегралов по всему пространству-времени, а не от значений полей в фиксированной точке.
Наиболее изученные нелокальные поправки можно классифицировать по их форме:
Скалярные конструкции:
Тензорные структуры:
Интегральные представления:
Часто нелокальные выражения реализуются через вспомогательные поля, например:
□ϕ = R, ⇒ R□−1R = Rϕ,
что позволяет переписать действие в локальной форме с помощью дополнительных полей.
Космологические применения. Нелокальные гравитационные теории обладают потенциалом объяснения позднего ускоренного расширения Вселенной без введения космологической постоянной. Например, модель Deser–Woodard:
$$ S = \int d^4x \sqrt{-g} \left[ R + R f(\Box^{-1} R) \right], $$
при подходящем выборе функции f может порождать динамику, имитирующую тёмную энергию.
Квантово-гравитационные поправки. В теории эффективного действия, полученного в рамках квантовой теории поля, неизбежно возникают логарифмические или неаналитические функции от операторов □, что указывает на нелокальную природу квантовых поправок.
Улучшение ультрафиолетового поведения. Некоторые нелокальные модели, особенно на основе экспоненциальных операторов, таких как e□/M2, используются для построения ультрафиолетово-завершаемых (UV-finite) теорий гравитации, не содержащих призрачных мод.
Для обращения нелокального действия к локальной форме используется введение вспомогательных (ауксилиарных) скалярных и тензорных полей. Например:
$$ S = \frac{1}{16\pi G} \int d^4x \sqrt{-g} \left[ R - \mu^2 R \Box^{-2} R \right] $$
может быть приведено к локальной форме через поля ϕ, ψ:
□ϕ = R, □ψ = ϕ, ⇒ R□−2R = Rψ,
и тогда действие становится:
$$ S = \frac{1}{16\pi G} \int d^4x \sqrt{-g} \left[ R - \mu^2 R \psi + \lambda_1(\Box \phi - R) + \lambda_2(\Box \psi - \phi) \right], $$
где λi — лагранжевы множители. Такая локализованная форма позволяет применять стандартные методы вариационного исчисления и получать уравнения движения.
Модель Maggiore–Mancarella:
$$ S = \int d^4x \sqrt{-g} \left[ R - \frac{m^2}{6} R \Box^{-2} R \right]. $$
Эта модель способна порождать фазу ускоренного расширения без введения тёмной энергии. При этом отсутствуют новые призрачные степени свободы.
Модель Deser–Woodard:
$$ S = \int d^4x \sqrt{-g} \left[ R + R f(\Box^{-1} R) \right], $$
где функция f выбирается феноменологически, например, чтобы обеспечить переход от доминирования материи к фазе ускоренного расширения.
Экспоненциально-смягчённые модели:
$$ S = \int d^4x \sqrt{-g} \left[ R + R e^{-\Box/M^2} R \right], $$
применяются в теоретико-струнных подходах и теориях с улучшенной ультрафиолетовой сходимостью.
В контексте Фридман–Леметр–Робертсон–Уокер (FLRW) метрики:
ds2 = −dt2 + a(t)2dx⃗2,
нелокальные поправки приводят к модифицированным уравнениям Фридмана. Так, введение скалярных вспомогательных полей переводит систему к эффективной динамике вида:
3H2 = 8πG(ρ + ρeff), Ḣ = −4πG(ρ + p + ρeff + peff),
где ρeff, peff обусловлены нелокальными членами и могут вести себя как тёмная энергия с уравнением состояния weff ≈ −1.
Получение уравнений движения из нелокального действия требует аккуратной обработки операторов □−1. Один из подходов — использование вариации под интегралом с последующим интегрированием по частям. Для члена вида:
δ(R□−1R) = (δR)□−1R + R□−1δR + Rδ(□−1)R,
последний член включает вариацию инверсии оператора и может быть записан с использованием тождества:
δ(□−1) = −□−1δ□□−1.
Это приводит к довольно громоздким, но в принципе выписываемым уравнениям движения, содержащим вспомогательные поля и их производные вплоть до четвёртого порядка.
Одна из главных трудностей в построении нелокальных гравитационных теорий — это исключение появления призрачных степеней свободы (ghosts), связанных с неправильным знаком кинетического члена. Некоторые формы f(□−1R) ведут к появлению дополнительных скалярных мод, обладающих призрачной динамикой, что приводит к нестабильности вакуума и нарушению унитарности.
Решение этой проблемы обычно требует:
В теории струн и других подходах к квантовой гравитации (например, асимптотической безопасности) нелокальные эффекты возникают естественным образом. Струнная теория предсказывает бесконечный ряд производных, соответствующих бесконечному числу возбуждённых мод, что приводит к действиям вида:
$$ S \sim \int d^4x \sqrt{-g} \left[ R + \alpha' R e^{\Box/M_s^2} R + \cdots \right], $$
где Ms — характерная струнная шкала. Такие действия допускают улучшенное поведение в высокоэнергетических режимах и возможность устранения ультрафиолетовых дивергенций.
Нелокальные теории гравитации находятся в активной стадии развития. Продолжается исследование:
Эти модели представляют собой мощный инструмент как для объяснения космологических феноменов, так и для изучения фундаментальной природы гравитационного взаимодействия.