Классификация орбитальных движений
Орбитальная механика изучает движение тел под действием гравитационного взаимодействия, когда силы других типов (например, сопротивления среды) можно пренебречь. Главной задачей орбитальной механики является описание траекторий тел, движущихся в гравитационном поле одного или нескольких масс. В простейшем случае речь идёт о задаче двух тел, где одно тело (например, планета) значительно массивнее другого (например, спутника), и его положение можно считать фиксированным.
Согласно законам Ньютона и при действии закона всемирного тяготения, траектория движения тела в гравитационном поле центральной силы является коническим сечением: окружность, эллипс, парабола или гипербола. Класс движения определяется по значению полной механической энергии тела:
Основные параметры орбит
Для описания движения по коническим сечениям вводятся орбитальные элементы, которые определяют форму, размеры и ориентацию орбиты в пространстве:
Уравнение орбиты в полярной системе координат
Движение тела в центральном поле удобно описывать в полярной системе координат, где одна из фокусных точек (центр тяготения) лежит в начале координат. Уравнение траектории имеет вид:
$$ r(\theta) = \frac{p}{1 + e \cos\theta} $$
где r — расстояние до тела, θ — истинная аномалия (угол между направлением на перицентр и текущим положением тела), p — параметр орбиты, связанный с её формой и размером.
Закон площадей и уравнение движения Кеплера
Из второго закона Кеплера (закон площадей) следует, что радиус-вектор тела, движущегося по орбите, описывает равные площади за равные промежутки времени. Это означает, что тело движется неравномерно: быстрее вблизи перицентра и медленнее в апоцентре.
Для эллиптических орбит центральным уравнением движения является уравнение Кеплера:
M = E − esin E
где M — средняя аномалия, E — эксцентрическая аномалия. Это трансцендентное уравнение решается численно, позволяя определить положение тела на орбите в заданный момент времени.
Энергетические характеристики движения
Полная механическая энергия тела на орбите (в классической задаче двух тел) выражается как:
$$ E = \frac{v^2}{2} - \frac{G M}{r} $$
где v — скорость тела, r — расстояние до центрального тела, G — гравитационная постоянная, M — масса центрального тела. При этом:
Для эллиптической орбиты:
$$ E = -\frac{G M}{2a} $$
Для круговой орбиты:
$$ v = \sqrt{\frac{G M}{r}}, \quad E = -\frac{G M}{2r} $$
Перицентр, апоцентр и скорость на орбите
Важными характеристиками эллиптических орбит являются:
Скорость тела в этих точках можно найти из закона сохранения энергии или с помощью уравнения вектора Лапласа:
$$ v = \sqrt{G M \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)} $$
На перицентре скорость максимальна, на апоцентре — минимальна.
Манёвры и переходы между орбитами
Одной из центральных тем орбитальной механики является задача изменения орбиты с помощью импульсных манёвров. Классическим примером является переход Гомана — энергетически оптимальный способ перехода с одной круговой орбиты на другую с помощью двух импульсов:
Такие манёвры требуют точного расчёта времени и направления придаваемого импульса.
Задача трёх тел и устойчивость орбит
В реальной гравитационной системе присутствует множество тел, влияющих друг на друга. Классическая задача трёх тел не имеет общего аналитического решения, и изучается с помощью численных методов. При этом важную роль играют:
Орбитальные периоды и третий закон Кеплера
Для тел, движущихся по эллиптическим орбитам, справедлив третий закон Кеплера, согласно которому квадрат периода обращения пропорционален кубу большой полуоси:
$$ T^2 = \frac{4\pi^2}{G M} a^3 $$
Это соотношение позволяет определять массу центрального тела, если известны параметры орбиты спутника.
Обращение перицентра и прецессия орбит
В случае более сложных гравитационных полей (например, несферичности центрального тела или влияния других тел) происходит прецессия перицентра — постепенное вращение орбиты в плоскости движения. Для Меркурия наблюдается аномальное смещение перигелия, которое не может быть объяснено ньютоновской теорией и требует привлечения общей теории относительности.
Сферическое поле и эффективный потенциал
Для анализа движения в центральном поле полезно использовать эффективный потенциал, объединяющий гравитационную и центробежную энергии:
$$ U_{\text{эфф}}(r) = -\frac{G M}{r} + \frac{L^2}{2\mu r^2} $$
где L — момент импульса, μ — приведённая масса системы. График эффективного потенциала позволяет исследовать устойчивость орбит, возможные виды движения, условия захвата или выхода из системы.
Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта
Анализ орбит требует чёткого понимания выбора системы отсчёта. В идеальном случае используется инерциальная система, связанная с центром масс, однако в прикладных задачах нередко приходится переходить к системам, движущимся вместе с планетами, спутниками и т.д. Переход к неинерциальным системам сопровождается введением фиктивных (инерционных) сил: центробежной и кориолисовой.
Орбитальная механика в астрофизике и космонавтике
Применения орбитальной механики разнообразны:
Понимание орбитальной механики является основополагающим как для классической небесной механики, так и для современных инженерных расчётов в космических технологиях.