Отклонение света в гравитационном поле

В общей теории относительности (ОТО) свет распространяется не по прямым линиям, как в евклидовом пространстве, а по нулевым геодезическим в искривлённом пространственно-временном многообразии. Метрика определяет, как измеряются расстояния и времена, и, соответственно, каков путь, по которому движется безмассовая частица — фотон.

Для фотона метрический интервал ds2 = 0, что соответствует нулевой геодезической. Поэтому задача отклонения света в гравитационном поле сводится к исследованию формы нулевых геодезических на заданной метрике.

Метрика Шварцшильда и условия распространения света

Наиболее изученный случай — это распространение света в гравитационном поле сферически симметричного, невращающегося тела. Такое поле описывается метрикой Шварцшильда:

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2) $$

Рассматривая свет, распространяющийся в экваториальной плоскости θ = π/2, получаем:

$$ 0 = -\left(1 - \frac{2GM}{r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\phi^2 $$

Используя уравнения движения на геодезических и законы сохранения (энергии и момента импульса), можно вывести уравнение траектории света:

$$ \left(\frac{du}{d\phi}\right)^2 + u^2 = \frac{1}{b^2} + 2GMu^3 $$

где u = 1/r, а b = L/E — так называемое импульсное расстояние (impact parameter).

Член 2GMu3 представляет собой гравитационную поправку к ньютоновской траектории.

Приближённое решение: слабое поле

В случае слабого поля (r ≫ rs = 2GM/c2) и малых углов отклонения можно использовать линейное приближение:

$$ \delta \phi \approx \frac{4GM}{c^2 b} $$

Это выражение даёт угол отклонения луча света при прохождении вблизи массивного тела. Заметим, что в классической ньютоновской теории света (если бы фотон имел массу), предсказывается угол отклонения вдвое меньший:

$$ \delta \phi_\text{Ньютон} = \frac{2GM}{c^2 b} $$

Таким образом, полное отклонение света в ОТО вдвое больше классического предсказания.

Историческое подтверждение и экспериментальные данные

Явление отклонения света было экспериментально подтверждено во время солнечного затмения 1919 года в экспедициях Артура Эддингтона. Свет звёзд, проходящих близко от края Солнца, отклонялся на угол, соответствующий предсказанию Эйнштейна: около 1.75 угловых секунд.

Современные астрометрические методы, основанные на радиоинтерферометрии (VLBI), а также наблюдения гравитационного линзирования, подтверждают отклонение света с высокой точностью. Например, наблюдения квазаров, находящихся вблизи солнечного диска на небе, показывают отклонение, соответствующее общей теории относительности с точностью лучше 0.01%.

Гравитационное линзирование

Отклонение света лежит в основе гравитационного линзирования — эффекта, при котором массивные тела (галактики, скопления галактик, чёрные дыры) фокусируют свет от удалённых источников, создавая множественные изображения, кольца Эйнштейна, арки и другие структуры.

Гравитационная линза может быть описана в приближении тонкой линзы, где используется проецированная масса линзирующего объекта. Уравнение линзы:

$$ \vec{\beta} = \vec{\theta} - \frac{D_{ds}}{D_s} \vec{\alpha}(\vec{\theta}) $$

где:

  • β⃗ — истинное положение источника,
  • θ⃗ — наблюдаемое угловое положение изображения,
  • α⃗(θ⃗) — гравитационное отклонение,
  • Ds, Dd, Dds — угловые расстояния от наблюдателя до источника, до линзы и от линзы до источника соответственно.

Эффект гравитационного линзирования позволяет не только проверять ОТО, но и изучать распределение тёмной материи, расширение Вселенной и структуру далёких галактик.

Отклонение света в других метриках

В более сложных гравитационных полях, например, описываемых метриками Керра или Керра-Ньюмена, отклонение света зависит не только от массы, но и от углового момента (вращения) и заряда тела. Светоносные геодезические в этих метриках не лежат в одной плоскости, а испытывают скручивание траекторий — эффект, называемый гравитационным дражеем (frame dragging).

В метрике Керра уравнения движения усложняются, но сохраняют интегрируемость благодаря существованию дополнительных интегралов движения, таких как интеграл Картера.

Явление сильного отклонения

Вблизи горизонта событий чёрной дыры отклонение света может достигать произвольно больших значений. При определённых условиях свет может образовывать фотонные орбиты, замкнутые траектории на фиксированном радиусе (например, r = 3GM/c2 в метрике Шварцшильда). Это приводит к эффекту множественных изображений одного и того же объекта.

В оптических изображениях чёрных дыр (например, полученных проектом Event Horizon Telescope), фотонные кольца формируют характерную тень, окружённую светящимися дугами — результат многократного отклонения света.

Отклонение света и гравитационные волны

Гравитационные волны также искривляют пространство-время и могут вызывать временные флуктуации траекторий фотонов. Эти эффекты учитываются в анализе синхронизации сигналов от пульсаров (PTA) и могут привести к микролинзированию от гравитационных волн.

Кроме того, распространение света в космологических масштабах (в метрике Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера) испытывает отклонение и дисторсию из-за неоднородностей гравитационного поля, создаваемых крупномасштабной структурой Вселенной.

Формализм перегиба (bending angle) и оптической длины

В более общем формализме вводится понятие угла перегиба α, связанного с интегралом по геодезической:

$$ \alpha = \int_{r_0}^{\infty} \left( \frac{d\phi}{dr} - \frac{1}{r \sqrt{1 - b^2/r^2}} \right) dr $$

где r0 — точка ближайшего приближения. Эта формула позволяет учитывать гравитационные поправки к траектории с высокой точностью и используется в численных расчётах.

Также вводится понятие оптической длины пути, что позволяет переформулировать распространение света как задачу геометрической оптики в эквивалентной среде с переменным показателем преломления, зависящим от гравитационного потенциала:

$$ n(r) = \left(1 - \frac{2GM}{rc^2}\right)^{-1} $$

Таким образом, гравитационное поле действует подобно среде с переменным n(r), что приводит к искривлению лучей света.

Сводка физических последствий

  • Отклонение света — фундаментальное предсказание ОТО, подтверждённое наблюдениями.
  • Угол отклонения пропорционален массе тела и обратно пропорционален расстоянию ближайшего приближения.
  • Явление лежит в основе гравитационного линзирования и астрономических наблюдений крупномасштабной структуры.
  • В условиях сильных полей возникают эффект тени, фотонных колец и множественных изображений.
  • В более сложных метриках отклонение сопровождается вращением траекторий и нелинейными эффектами.

Отклонение света в гравитационном поле остаётся краеугольным камнем проверки общей теории относительности и важным инструментом современной астрофизики и космологии.