В релятивистской теории гравитации, опирающейся на геометрию псевдоримановых многообразий, ключевым понятием является параллельный перенос векторных и тензорных объектов вдоль кривых в многообразии. Это понятие лежит в основе формулировки ковариантной производной, определения геодезических линий, построения законов сохранения, и в целом описания локальной и глобальной геометрии пространства-времени.
Параллельный перенос позволяет сравнивать векторы в различных точках многообразия, несмотря на отсутствие глобального векторного пространства. Идея заключается в том, чтобы транспортировать вектор вдоль кривой, сохраняя его “направление” по возможности неизменным в соответствии с кривизной пространства.
Пусть M — гладкое многообразие с метрическим тензором gμν, и пусть γ(λ) — гладкая кривая на этом многообразии, параметризованная параметром λ. Обозначим касательный вектор к кривой через $u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\lambda}$. Тогда векторное поле Vμ(λ) считается параллельно перенесённым вдоль γ, если выполняется условие:
$$ \frac{D V^\mu}{d\lambda} = \frac{d V^\mu}{d\lambda} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} u^\nu V^\rho = 0, $$
где Γνρμ — коэффициенты связности (симметричная аффинная связность, совместимая с метрикой в случае Леви-Чивиты).
Выражение выше представляет собой ковариантную производную вдоль касательного вектора uμ. Таким образом, условие параллельного переноса:
$$ \frac{D V^\mu}{d\lambda} = u^\nu \nabla_\nu V^\mu = 0, $$
означает, что векторное поле Vμ сохраняется в направлении uν. Это ключевой момент: в плоском пространстве параллельный перенос не меняет вектор, но в кривом — изменяет его в зависимости от геометрии.
Обобщение на тензоры произвольного ранга осуществляется по аналогии. Пусть Tν1…νlμ1…μk — тензорное поле. Тогда условие параллельного переноса вдоль кривой γ(λ) имеет вид:
$$ \frac{D T^{\mu_1 \dots \mu_k}_{\nu_1 \dots \nu_l}}{d\lambda} = u^\rho \nabla_\rho T^{\mu_1 \dots \mu_k}_{\nu_1 \dots \nu_l} = 0. $$
Компонентная запись включает суммы по всем верхним и нижним индексам с соответствующими коэффициентами связности.
Параллельный перенос вдоль замкнутого пути может изменить вектор, возвращённый в исходную точку. Это фундаментальное свойство отражает кривизну многообразия. Геометрически, результат параллельного переноса вдоль замкнутого контура зависит от кривизны области, ограниченной этим контуром.
Математически, этот эффект описывается тензором Римана R ναβμ. Пусть Vμ — вектор, параллельно перенесённый вокруг бесконечно малого параллелограмма, натянутого на векторах uα и vβ. Тогда изменённый вектор δVμ определяется как:
δVμ = R ναβμVνuαvβ.
Следовательно, параллельный перенос зависит от пути, если тензор Римана не равен нулю. В плоском пространстве (например, в специальной теории относительности), этот эффект отсутствует.
В любой точке гладкого многообразия можно ввести локальную инерциальную систему координат, в которой связность Γνρμ = 0 в данной точке и ковариантная производная сводится к обычной. Однако вдали от этой точки эффекты кривизны начинают играть роль.
Параллельный перенос является инструментом, позволяющим продлить понятие инерциального движения: если вектор 4-скорости uμ тела сохраняется при параллельном переносе вдоль траектории, то это тело свободно падает, т.е. его траектория — геодезическая линия:
$$ \frac{D u^\mu}{d\lambda} = 0. $$
Это эквивалентно уравнениям движения в общей теории относительности.
Рассмотрим систему координат xμ и локальный базис eμ. Параллельный перенос базисных векторов вдоль кривой позволяет определить, как изменяется геометрия пространства. Пусть eμ(λ) — поле базисных векторов вдоль кривой. Тогда:
$$ \frac{D e_\mu}{d\lambda} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \nabla_{u} e_\mu = 0. $$
Если векторы eμ удовлетворяют этому уравнению, говорят, что базис параллельно перенесён вдоль γ. Это приводит к представлению тензорных величин в параллельно транспортируемом базисе, что удобно при вычислениях, например, в задачах с симметриями.
Пусть имеется замкнутый путь γ, начинающийся и заканчивающийся в одной точке p. Параллельный перенос вектора вдоль γ даёт линейное преобразование касательного пространства в точке p. Множество всех таких преобразований образует группу, называемую группой голономии. Она содержит информацию о локальной кривизне и глобальной топологии пространства-времени.
Если группа голономии тривиальна (т.е. все переносы приводят к тождественному преобразованию), то пространство плоское. Нетривиальная голономия отражает геометрическую структуру многообразия и лежит в основе формулировки таких эффектов, как гравитационное линзирование и прецессия орбит.
Физические следствия параллельного переноса проявляются, в частности, в эффекте Фоккера—Де Ситтера (прецессия гироскопа в гравитационном поле), в эффекте Томаса прецессии, в фазе Берри (в аналогиях), а также при вычислении транспортируемых векторов в гравитационных волнах.
Особенно важным примером является параллельный перенос вблизи массивных тел: изменение ориентации вектора спина или вектора скорости при возврате к исходной точке указывает на искривление пространства-времени, вызванное массой и энергией.
Параллельный перенос зависит как от локальных свойств многообразия (например, тензора кривизны), так и от глобальной структуры (например, топологии пространства). В некоторых моделях, таких как пространства с компактными направлениями или топологическими дефектами, параллельный перенос по замкнутым траекториям может дать нетривиальные результаты, даже если локальная кривизна равна нулю.
Это обстоятельство важно в квантовой гравитации, космологии и теории струн, где гравитационное взаимодействие рассматривается не только через метрику, но и через топологические и холономные свойства пространства.
Все уравнения гравитационной физики в общей теории относительности можно выразить через понятия, построенные на параллельном переносе: тензор кривизны, геодезические уравнения, уравнения поля Эйнштейна. Само взаимодействие гравитации интерпретируется не как сила в ньютоновском смысле, а как отклонение от сохранения направления при параллельном переносе.
Таким образом, параллельный перенос — не просто математическая конструкция, а фундаментальный физический принцип, описывающий, как изменяются состояния физических объектов в искривлённом пространстве-времени.