Петлевая квантовая гравитация

Петлевая квантовая гравитация (ПКГ) представляет собой одну из ведущих программ по квантованию гравитационного поля. В отличие от подходов, основанных на объединении гравитации с другими взаимодействиями через теорию струн, ПКГ стремится к ненарушаемой фундаментальной дискретности пространства-времени, сохраняя принципы общей ковариантности и независимости от фоновой метрики. Центральным элементом подхода является формализм канонического квантования, применённый к общей теории относительности (ОТО), переписанной в гамильтоновом виде с использованием переменных Аштекара.

---

Переменные Аштекара и каноническая формулировка

Переход к переменным Аштекара был ключевым шагом в развитии ПКГ. Вместо метрики и её сопряжённого импульса используются:

• комплексное SU(2)-связующее поле A_aⁱ (аналог калибровочного поля Янга-Миллса),
• плотность триады E_i^a, сопряжённая к A_aⁱ.

Они удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению:

{A_aⁱ(x), E_j^b(y)} = κδ_a^bδ_jⁱδ³(x, y),

где κ = 8πG, a, b — пространственные индексы, i, j — внутренние индексы SU(2).

Это позволяет сформулировать гравитационную теорию в виде SU(2)-калибровочной теории с гравитационными степенями свободы, что делает её пригодной для нелинейного квантования в духе Янга-Миллса.

---

Ограничения и их квантование

В канонической гравитации имеются три класса ограничений:

1. Калибровочное ограничение Гаусса:

   ????ⁱ = D_aE_i^a = 0

   Обеспечивает SU(2)-инвариантность.

2. Ограничение диффеоморфизмов:

   ????_a = E_i^bF_abⁱ = 0

   Обеспечивает инвариантность относительно пространственных преобразований координат.

3. Гамильтоново (скалярное) ограничение:

   ℋ = ϵ_ijkE_i^aE_j^bF_ab^k = 0

   Отвечает за эволюцию во времени.

Квантование предполагает реализацию этих ограничений как операторов на гильбертовом пространстве и нахождение их общего ядра.

---

Спиновая сеть и дискретизация пространства

Ключевым открытием ПКГ стало то, что операторы геометрических величин (длины, площади, объёма) имеют дискретный спектр. Это проявляется в спиновых сетях — базисе гильбертова пространства состояний.

Спиновая сеть — это граф, вложенный в трёхмерное пространство, рёбра которого несут представления группы SU(2), а узлы соответствуют интертуторам. Эти сети:

• формируют ортонормированный базис;
• автоматически реализуют ограничение Гаусса;
• дискретизируют геометрию: площадь и объём определяются квантованными спектрами операторов.

Например, оператор площади Â_S поверхности S, пересекаемой рёбрами сечений спиновой сети, имеет спектр:

$$ \hat{A}_S = 8\pi \gamma \ell^2_P \sum_i \sqrt{j_i(j_i + 1)}, $$

где j_i — спиновое квантовое число на ребре, γ — параметр Барберо–Иммирци, ℓ_P — планковская длина.

---

Динамика: петлевая гравитация и спинные пены

Поскольку гамильтоново ограничение крайне сложно реализовать в канонической форме, особое развитие получил путь интегрального формализма ПКГ. Здесь динамика выражается не через гамильтониан, а через переходные амплитуды между состояниями спиновых сетей. Это приводит к понятию спинной пены.

Спинная пена — это 2-комплекс (ячейстая структура), представляющий историю спиновой сети во времени. Он:

• состоит из граней (временных эволюций рёбер) и вершин (временных эволюций узлов);
• моделирует эволюцию геометрии на квантовом уровне;
• обобщает формализм путевого интеграла для гравитации без фоновой метрики.

Формализм спинных пен позволяет задавать амплитуды переходов между различными квантовыми геометриями. Эти амплитуды в ряде моделей сводятся к аналогам моделей статической решётки (например, модель Барретта–Крейна, EPRL).

---

Ковариантные амплитуды перехода

Одной из центральных задач стало построение эффективной квантовой теории, сводящейся к общей теории относительности в классическом пределе. Модели спинных пен обеспечивают амплитуды вида:

Z = ∑_{спиновые пены}∏_гранейA_f∏_рёберA_e∏_вершинA_v,

где A_f, A_e, A_v — амплитуды граней, рёбер и вершин. Конкретный вид этих амплитуд зависит от выбранной модели, однако все они стремятся к выполнению трёх требований:

• восстановление классической динамики в пределе больших спинов;
• соблюдение локальной инвариантности;
• конечность суммы Z.

---

Параметр Барберо–Иммирци

Важным элементом является параметр Барберо–Иммирци γ, который влияет на квантованные значения геометрических операторов. Его значение не фиксируется классической теорией, однако можно наложить ограничения через сопоставление с энтропией чёрных дыр.

В ПКГ удалось получить энтропию горизонта чёрной дыры по формуле Бекенштейна–Хокинга:

$$ S = \frac{A}{4 \ell_P^2}, $$

если параметр γ выбирается соответствующим образом. Это указывает на глубинную связь ПКГ с термодинамикой горизонтов и природу квантовой структуры пространства.

---

Чёрные дыры и квантовые горизонты

Квантование горизонта в ПКГ приводит к модели изолированного горизонта. В этой модели горизонт описывается как двумерная поверхность, пересекаемая рёбрами спиновой сети. Эти пересечения ведут к дискретному спектру площади и микроскопическому описанию состояний.

Подсчёт микросостояний приводит к энтропии, пропорциональной площади, с коррекциями:

$$ S = \frac{A}{4 \ell_P^2} - \frac{1}{2} \ln A + \dots, $$

что демонстрирует мощные предсказательные свойства ПКГ.

---

Связь с классической гравитацией и эффекты в низкоэнергетическом пределе

Существенным направлением исследований является извлечение эффективной классической теории из ПКГ. Методы включают:

• асимптотический анализ амплитуд при больших спинах;
• восстановление уравнений Эйнштейна как предельных соотношений;
• квантовые поправки к уравнениям Фридмана в космологических приложениях.

Примечательным достижением является петлевая квантовая космология (ПКК), в рамках которой:

• заменяется непрерывная структура пространства-времени на дискретную;
• сингулярность Большого взрыва заменяется квантовым отскоком;
• возможна реализация циклической космологии.

---

Общие черты и перспективы

Петлевая квантовая гравитация обладает рядом отличительных особенностей:

• фоновая независимость: пространство-время не фиксируется заранее;
• дискретность геометрии: площади и объёмы квантуются;
• строгая калибровочная структура: SU(2)-инвариантность и диффеоморфизм-инвариантность встроены;
• геометрическое квантование: акцент на физических наблюдаемых, связанных с формой пространства.

Проблемы включают сложность описания времени, выбор наблюдаемых, согласование с экспериментом и извлечение феноменологии. Однако прогресс в области спинных пен, космологических моделей и моделей чёрных дыр демонстрирует высокую степень зрелости теории как самостоятельного подхода к квантовой гравитации.