Плоские волновые решения в общей теории относительности
Плоские волновые решения являются частным классом точных решений уравнений Эйнштейна, описывающим гравитационные волны, распространяющиеся в пустом пространстве. Эти решения отражают фундаментальную особенность общей теории относительности — возможность существования возмущений гравитационного поля, распространяющихся со скоростью света. В отличие от линеаризованной теории, где волны рассматриваются как малые отклонения на фоне плоского пространства Минковского, здесь речь идёт о точных решениях, где волна может обладать произвольной амплитудой, а структура пространства-времени существенно искажается волновым процессом.
Плоские волновые решения описываются метриками, обладающими двумя пространственными симметриями и одной направленной вдоль распространения волны. Наиболее типичная форма метрики плоской гравитационной волны:
ds2 = −2 du dv + H(u, x, y) du2 + dx2 + dy2,
где $u = \frac{1}{\sqrt{2}}(t - z)$, $v = \frac{1}{\sqrt{2}}(t + z)$ — светоподобные координаты, а H(u, x, y) описывает профиль волны. Это так называемая метрика Бриджеса–Розена или ПП-волна (pp-wave), где “pp” означает “plane-fronted waves with parallel rays”.
При подстановке метрики в уравнения Эйнштейна с нулевым тензором энергии-импульса (вакуум), получается единственное независимое уравнение:
$$ \Delta_\perp H(u,x,y) = \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) H(u,x,y) = 0, $$
то есть функция H должна удовлетворять плоскому уравнению Лапласа по поперечным координатам x, y. Это уравнение можно решать аналитически, и его решение может содержать произвольную зависимость от переменной u, что отражает произвольный профиль волны вдоль направления распространения.
Простейший пример:
H(u, x, y) = A(u)(x2 − y2) + 2B(u)xy,
где A(u) и B(u) — произвольные функции, отвечающие за две независимые поляризации гравитационной волны: + и ×.
ПП-волны обладают рядом примечательных геометрических свойств:
Нулевая скалярная кривизна: Все скаляры, образованные из тензора кривизны (включая R, RμνRμν, RμνρσRμνρσ) равны нулю. Это делает пространство конформно-плоским в особом смысле, хотя и не полностью плоским.
Индивидуальные геодезические отклонения: Траектории пробных частиц, движущихся в волновом фронте, испытывают отклонения, вызванные волной. Это физическое проявление гравитационного воздействия — частицы испытывают поперечные ускорения, зависящие от формы функции H.
Параллельность лучей: Векторы, касательные к волновым фронтам, являются ковариантно постоянными: ∇μkν = 0, где kν = δvν. Это отражает плоский фронт волны и постоянство направления распространения.
Одним из мощных методов анализа гравитационного воздействия волн является рассмотрение уравнения геодезического отклонения. Пусть Xμ — отклонение между двумя соседними геодезическими:
$$ \frac{D^2 X^\mu}{d\tau^2} = -R^\mu_{\ \nu\alpha\beta} u^\nu X^\alpha u^\beta, $$
где uμ — касательный вектор к мировой линии. Для метрики pp-волны ненулевые компоненты тензора кривизны приводят к уравнениям:
$$ \frac{d^2 X^i}{du^2} = -\frac{1}{2} \frac{\partial^2 H}{\partial x^i \partial x^j} X^j, $$
где i, j = x, y. Таким образом, отклонение зависит от второй производной H, что иллюстрирует действие волны на материальные частицы.
Гравитационная волна в общей теории относительности имеет две степени свободы — две поляризации, соответствующие трансверсальным модам. В приведённой выше форме метрики поляризации соответствуют компонентам:
Это полностью согласуется с результатами линеаризованной теории и спином 2 гравитона в квантованной теории.
Существует альтернативное представление плоских гравитационных волн — метрика Розена. Она имеет вид:
ds2 = −2 du dv + gij(u) dxidxj,
где gij(u) — двумерная положительно определённая матрица, зависящая от u. Это представление делает явной геометрию поперечного сечения волны. Однако оно имеет особенности: при определённых профилях gij(u), метрика может казаться сингулярной, что является следствием координатных особенностей, а не физической сингулярности.
Переход от формы Розена к pp-волне возможен при помощи координатного преобразования, включающего интегрирование матрицы gij(u) и введение новых координат, в которых геометрия принимает pp-вид.
Интересный класс решений — импульсные гравитационные волны, в которых функция H(u, x, y) содержит δ-функцию:
H(u, x, y) = δ(u)F(x, y),
где F(x, y) — гармоническая функция. Эти решения описывают фронт гравитационной волны, движущийся со скоростью света, сопровождаемый резким скачком геометрии. Такие решения широко используются в моделировании взаимодействий в гравитационных столкновениях или моделировании пределов ультрарелятивистских объектов (например, предел Aichelburg–Sexl).
Метрика pp-волн обладает обширной группой изометрий. Наиболее существенные:
Эти симметрии обеспечивают возможность более глубокого анализа физических процессов, таких как рассеяние частиц, распространение света и поведение квантовых полей на фоне гравитационной волны.
Плоские волновые решения играют ключевую роль в концептуальном понимании гравитационного излучения. Хотя в реальной Вселенной гравитационные волны не обладают строго плоским фронтом, в достаточно удалённых областях (волновая зона) поведение настоящих гравитационных волн приближается к таким решениям.
В частности, анализ излучения двойных систем (бинарных чёрных дыр, пульсаров) в приближении большого расстояния опирается на плоские или асимптотически плоские волновые решения. Это делает их базовым инструментом в изучении гравитационного взаимодействия на больших масштабах и в астрофизике.
Плоские волновые решения находят широкое применение:
Плоские гравитационные волны — это не только математически элегантный, но и физически насыщенный объект общей теории относительности, демонстрирующий в полной мере нелинейную и геометрическую природу гравитации.