Гравитационные волны, как решения уравнений линейной гравитации в вакууме, обладают богатой структурой, включая различные моды поляризации. Поляризация — это проявление внутренней степени свободы волны, связанной с направлением колебаний метрических возмущений относительно направления распространения волны. В рамках общей теории относительности, как спин-2 теории, в вакууме допускаются только две поперечные тензорные поляризации. Однако альтернативные теории гравитации допускают более широкое разнообразие мод.
Линеаризованное приближение и метрические возмущения
Рассматривается возмущение hμν метрики вокруг плоского фона Минковского:
gμν = ημν + hμν, |hμν| ≪ 1.
В этом приближении возмущения подчиняются линейным уравнениям, вытекающим из уравнений Эйнштейна. После наложения калибровки Лоренца (∂μh̄μν = 0), где $\bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h$, волновое уравнение принимает вид:
▫h̄μν = 0.
Поперечно-трассировочная калибровка (TT-калибровка)
Чтобы извлечь физические степени свободы, применяется поперечно-трассировочная (transverse-traceless, TT) калибровка, которая накладывает дополнительные условия:
Ограничения TT-калибровки позволяют выделить только те компоненты метрических возмущений, которые действительно передают гравитационное излучение. В этой калибровке, для плоской волны, распространяющейся вдоль оси z, ненулевыми остаются лишь компоненты hxxTT = −hyyTT и hxyTT = hyxTT, что соответствует двум независимым тензорным модам.
Тензорные моды поляризации
Поляризации называются «плюс» и «крест» и обозначаются h+ и h× соответственно. Временная и пространственная зависимость метрического возмущения может быть записана как:
$$ h^{\text{TT}}_{ij}(t, z) = \begin{pmatrix} h_+(t - z) & h_\times(t - z) & 0 \\ h_\times(t - z) & -h_+(t - z) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$
Эти моды приводят к различным характерным деформациям тестового кольца частиц в плоскости, перпендикулярной направлению распространения:
Поляризационные состояния и спин-2 характер гравитона
Гравитационная волна в ОТО является безмассовым возмущением спина 2. Это означает, что при квантовании соответствующая частица — гравитон — имеет два независимых состояния поляризации. Именно тензорные моды h+ и h× соответствуют этим состояниям. Их трансформация под вращением на угол ϕ вокруг оси распространения волны демонстрирует спиновый характер:
$$ \begin{aligned} h_+ &\to h_+ \cos 2\phi + h_\times \sin 2\phi, \\ h_\times &\to -h_+ \sin 2\phi + h_\times \cos 2\phi. \end{aligned} $$
Такое поведение соответствует частице с s = 2, поскольку фаза изменяется на 2ϕ.
Другие моды поляризации в альтернативных теориях
В рамках метрических модификаций ОТО или в скалярно-тензорных теориях гравитации, число допустимых мод поляризации увеличивается. Согласно классификации Ишибаши и Эзера (E(2)-классификация), существуют шесть возможных независимых мод поляризации гравитационных волн:
Эти дополнительные моды возникают, например, в теории Брунса-Дикке или в f(R)-гравитации. Наличие таких мод может быть проверено экспериментально.
Детектирование и различие поляризаций
Современные детекторы, такие как LIGO и Virgo, чувствительны только к тензорным модам. Однако будущие интерферометры с различной геометрией (например, LISA в космосе) и сети детекторов позволяют различать тип поляризации по характеру отклика тестовых масс. Ключевым элементом является анализ временной зависимости и относительных амплитуд сигналов в разных направлениях.
Построение карты чувствительности детектора к разным модам поляризации требует тщательного моделирования и решения обратной задачи: сопоставления наблюдаемого сигнала с теоретическими шаблонами.
Поляризация и источник гравитационных волн
Тип излучаемой поляризации зависит от природы источника:
Анализ структуры поляризации является мощным инструментом в тестировании гравитационных теорий и поиска новых взаимодействий.
Формализм спиновых сферических гармоник
Для описания поляризаций в общем направлении распространения волны удобно использовать спиновые сферические гармоники. Каждая из шести мод может быть представлена функциями с определённым спином:
Этот формализм позволяет естественно описывать распределение поляризации на небесной сфере, особенно в задачах, связанных с космологическим фоном гравитационных волн и поляризацией реликтового излучения.
Симметрии, калибровка и физические наблюдаемые
Важно отличать физически наблюдаемые эффекты от артефактов выбора координат. Поляризации, полученные после полной калибровки (включая TT-калибровку), инвариантны относительно диффеоморфизмов, сохраняющих калибровочные условия. Только такие компоненты метрического возмущения влияют на измерения длины и времени, а значит — регистрируются интерферометрами.
Измеряемым эффектом гравитационной волны является изменение геодезического расстояния между свободными массами, что прямо связано с hijTT. Все остальные компоненты можно устранить координатной трансформацией и не имеют физического смысла как гравитационное излучение.
Тестирование общей теории относительности
Измерение структуры поляризации гравитационных волн даёт возможность проверки предсказаний ОТО. Обнаружение мод, отличных от тензорных, будет означать отклонение от общей теории относительности и указывать на новые степени свободы гравитационного поля.
Экспериментальные ограничения на нетензорные моды накладываются путём сопоставления наблюдаемых сигналов с шаблонами, построенными в альтернативных теориях. В настоящее время данные LIGO и Virgo согласуются с чисто тензорной природой гравитационных волн, но дальнейшие наблюдения с более высокой точностью и в более широком спектре источников критически важны для продолжения этих исследований.