Преобразования Лоренца возникают как прямое следствие двух фундаментальных постулатов специальной теории относительности:
Эти постулаты приводят к необходимости пересмотра классических представлений о пространстве и времени. Вместо независимого и абсолютного времени и трехмерного пространства вводится четырёхмерное пространство-время Минковского, в котором преобразования координат между инерциальными системами описываются преобразованиями Лоренца.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта: S (неподвижная) и S′, движущаяся со скоростью v вдоль оси x относительно S. В этих условиях преобразования Лоренца имеют вид:
$$ \begin{aligned} t' &= \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2} \right), \\ x' &= \gamma (x - vt), \\ y' &= y, \\ z' &= z, \end{aligned} $$
где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — лоренцевский множитель.
Заметим, что пространство и время более не являются независимыми: изменение одной координаты (например, времени) влияет на измерения другой (например, длины). Это и есть сращивание пространства и времени в единую сущность — пространство-время.
Поскольку преобразования Лоренца симметричны, легко получить и обратные формулы:
$$ \begin{aligned} t &= \gamma \left(t' + \frac{v x'}{c^2} \right), \\ x &= \gamma (x' + v t'), \\ y &= y', \\ z &= z'. \end{aligned} $$
Эта симметрия отражает фундаментальный принцип: законы физики инвариантны при переходе от одной инерциальной системы к другой.
Введем четырёхмерный вектор (четырёхвектор) положения:
Xμ = (ct, x, y, z).
Преобразования Лоренца сохраняют инвариант интервала:
s2 = c2t2 − x2 − y2 − z2.
Это выражение аналогично квадрату расстояния в евклидовом пространстве, но с псевдоевклидовой метрикой (знак перед временной координатой положительный). В гравитационной физике интервал s2 играет ту же роль, что расстояние в классической механике, и остается неизменным при переходе между инерциальными системами.
1. Замедление времени. Для движущегося наблюдателя часы идут медленнее:
Δt′ = γΔt.
2. Сокращение длины. Длина движущегося объекта в направлении движения сокращается:
$$ L' = \frac{L}{\gamma}. $$
3. Относительность одновременности. События, одновременные в одной системе, не обязательно одновременны в другой:
$$ \Delta t' = \gamma \left( \Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2} \right). $$
Эти эффекты не являются следствием механических свойств материи, а вытекают из самой структуры пространства-времени.
В контексте гравитационной физики преобразования Лоренца играют двоякую роль:
Локальная инерциальность. В общей теории относительности (ОТО) пространство-время является искривлённым, однако в малых областях оно приближается к плоскому пространству Минковского. В таких локальных инерциальных системах справедливы преобразования Лоренца.
Переход к общей ковариантности. Хотя преобразования Лоренца справедливы только в плоском пространстве, они лежат в основе конструкции тензорных величин, которые инвариантны при обобщённых преобразованиях координат в ОТО. Таким образом, лоренцева инвариантность — локальный предел общей ковариантности.
Преобразования Лоренца образуют непрерывную группу, называемую лоренцевой группой. Эта группа включает:
Алгебра этой группы важна в теоретической физике, особенно в квантовой теории поля и при описании симметрий пространства-времени.
Физические поля, описываемые в пространстве-времени, должны корректно трансформироваться при переходе между системами отсчёта. Например, четырехвектор Aμ трансформируется как:
A′μ = Λ νμAν,
где Λ νμ — матрица преобразования Лоренца. Аналогично, тензоры второго ранга Tμν преобразуются как:
T′μν = Λ ρμΛ σνTρσ.
Это фундаментальное требование — ковариантность физических законов — означает, что уравнения физики должны сохранять форму при преобразованиях Лоренца.
Уравнения Максвелла инвариантны при преобразованиях Лоренца, что послужило одним из главных стимулов к разработке специальной теории относительности. Электромагнитное поле Fμν, будучи тензором второго ранга, естественным образом включается в лоренцеву структуру.
В гравитационной физике, особенно в ОТО, аналогично вводится метрический тензор gμν, который в плоском пределе стремится к метрике Минковского ημν = diag(1, −1, −1, −1). Следовательно, лоренцева инвариантность есть локальная симметрия любой теории, обобщающей гравитационное взаимодействие в контексте Римановой геометрии.
Преобразования Лоренца — это изометрии пространства Минковского. Они сохраняют псевдоевклидов интервал и симметрии пространства-времени в отсутствии гравитационных источников. Таким образом, вся динамика в специальной теории относительности разворачивается в рамках пространства Минковского и описывается с помощью лоренцево-инвариантных уравнений.
Хотя преобразования Лоренца фундаментальны в СТО, они применимы лишь к инерциальным системам и плоскому пространству-времени. В случае гравитации необходимо учитывать кривизну пространства, описываемую уравнениями Эйнштейна. Тем не менее, в малых областях, где кривизной можно пренебречь, лоренцевы преобразования продолжают оставаться справедливыми. Это позволяет формулировать физические законы в ОТО в тензорной форме, переходя к произвольным системам координат, не теряя при этом локальной лоренцевой инвариантности.
Преобразования Лоренца — краеугольный камень современной теоретической физики. Они лежат в основе не только специальной теории относительности, но и формализма общей теории относительности, квантовой теории поля и всех фундаментальных взаимодействий. В гравитационной физике они обеспечивают переход от классической механики к релятивистскому описанию движения тел, взаимодействия с полем и формулировке принципа локальной инерциальности.