В рамках ньютоновской механики орбиты планет описываются с высокой точностью с использованием закона всемирного тяготения. Эллиптические траектории, подчиняющиеся законам Кеплера, предполагают, что перигелий орбиты — точка наибольшего сближения планеты с Солнцем — остается фиксированной в пространстве. Однако уже в XIX веке стало очевидно, что для некоторых планет, прежде всего для Меркурия, наблюдаемое положение перигелия демонстрирует медленное, но устойчивое смещение — прецессию, которая не может быть объяснена исключительно взаимодействиями с другими телами Солнечной системы.
Для Меркурия эта аномалия составляла около 43 угловых секунд в столетие и оставалась необъяснённой вплоть до появления общей теории относительности (ОТО), которая дала количественно точное и качественно новое объяснение эффекта.
В ОТО движение планет в гравитационном поле описывается не как движение под действием силы, а как следование по геодезическим линиям в искривлённом пространстве-времени. Гравитационное поле Солнца искажает метрику пространства-времени, и орбиты планет представляют собой траектории, оптимальные с точки зрения этой геометрии.
При пренебрежении релятивистскими эффектами метрика пространства остаётся евклидовой, и движение планет описывается с помощью эффективного потенциала в центральном ньютоновском поле. В ОТО вместо этого используется метрика Шварцшильда, которая точно описывает геометрию вне сферически симметричного массивного тела (в данном случае — Солнца).
Метрика Шварцшильда во внешнем пространстве записывается как:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2) $$
где M — масса Солнца, G — гравитационная постоянная, c — скорость света, а (t, r, θ, ϕ) — сферические координаты.
Для планеты, движущейся в плоскости θ = π/2, можно ввести эффективный потенциал для радиального движения, учитывающий релятивистские поправки. Уравнение движения выводится из лагранжиана или прямо из уравнений геодезических, при этом сохраняются два первых интеграла движения: энергия E и момент импульса L.
После преобразований получают уравнение:
$$ \left( \frac{du}{d\phi} \right)^2 + u^2 = \frac{GM}{L^2} + \frac{3GM}{c^2} u^3 $$
где u = 1/r, ϕ — азимутальный угол. Последнее слагаемое ∝ u3 представляет собой релятивистскую поправку, отсутствующую в ньютоновском подходе.
Это уравнение приводит к медленной прецессии орбиты, при которой эллипс не замыкается за один оборот, а его ось поворачивается на небольшой угол. Решение уравнения показывает, что в первом приближении орбита описывается как:
$$ u(\phi) = \frac{GM}{L^2} \left[1 + e \cos\left((1 - \delta)\phi\right) \right] $$
где δ ≪ 1 — малая релятивистская поправка, определяющая смещение перигелия за один оборот.
Точный расчёт прецессии перигелия в метрике Шварцшильда даёт следующую формулу:
$$ \Delta \phi = \frac{6\pi GM}{c^2 a (1 - e^2)} $$
где:
Подставляя параметры орбиты Меркурия:
получаем величину прецессии, равную 43” в столетие, в полном согласии с наблюдениями. Этот результат стал одним из важнейших подтверждений общей теории относительности.
Хотя эффект наиболее заметен у Меркурия из-за его близости к Солнцу (и, соответственно, сильного гравитационного поля), аналогичную прецессию можно вычислить и для других тел. Однако величина эффекта уменьшается с увеличением расстояния a и уменьшением e.
Для планет, таких как Венера, Земля, Марс, релятивистская прецессия составляет лишь доли угловой секунды в столетие и с трудом поддаётся наблюдению. Тем не менее, с развитием радиоинтерферометрии и лазерной локации Луны стали возможны высокоточные измерения, подтверждающие предсказания ОТО с высокой степенью точности.
Полное смещение перигелия, наблюдаемое астрономически, складывается из нескольких вкладов:
Отдельно можно выделить эффект Джозефона–Ленца (Lense–Thirring precession), возникающий в случае вращающегося центрального тела (эффект фрейм-дрэггинга), но его вклад в случае Солнца крайне мал и практически не наблюдаем.
Прецессия перигелия остаётся одним из классических экспериментальных тестов общей теории относительности. В совокупности с другими тестами — отклонением света в гравитационном поле, замедлением времени, гравитационным красным смещением — она подтверждает универсальность геометрического подхода к гравитации.
Кроме того, аналогичные методы используются в расчётах орбит спутников, прецессии пульсаров в двойных системах, анализа сигналов гравитационных волн, и в миссиях вроде Gravity Probe B.
Таким образом, эффект прецессии перигелия не только демонстрирует фундаментальные различия между ньютоновской и релятивистской гравитацией, но и служит важнейшим инструментом для проверки физических теорий в сильных и слабых гравитационных полях.