Приливные силы представляют собой проявление неравномерности гравитационного поля, обусловленной изменением силы тяготения в пространстве. Их природа коренится не столько в абсолютной величине гравитационного ускорения, сколько в его градиенте — различии в гравитационном воздействии на разные части протяжённого тела. Это означает, что приливные силы возникают именно тогда, когда гравитационное поле неоднородно, т.е. изменяется от точки к точке.
Рассмотрим систему из двух тел: массивного тела массой M и протяжённого тела массой m, находящегося на конечном расстоянии от первого. Гравитационное ускорение, действующее на ближнюю сторону тела m, будет сильнее, чем на дальнюю сторону. Это приводит к дифференциальному ускорению, то есть к растягивающему эффекту, который и называется приливной силой.
В рамках ньютоновской гравитации, сила тяготения на расстоянии r от массы M определяется как:
$$ \vec{F}_g = -\frac{GMm}{r^2} \hat{r} $$
где G — гравитационная постоянная, а r̂ — единичный вектор в направлении от массы M.
Если тело m обладает конечными размерами 2R, то разность сил на ближнем и дальнем краю будет порядка:
$$ \Delta F \sim \left|\frac{GMm}{(r - R)^2} - \frac{GMm}{(r + R)^2}\right| \approx \frac{4GMmR}{r^3} $$
при R ≪ r. Эта величина и определяет характерный масштаб приливного взаимодействия.
Для тела, находящегося в свободном падении в гравитационном поле, разные точки тела движутся по слегка различающимся траекториям. Эти различия описываются уравнениями приливного ускорения, получаемыми из линейного приближения к полю тяготения. В однородном поле тела не испытывают приливных деформаций, но в реальных ситуациях поле практически всегда неоднородно.
Если выбрать систему координат, связанную с центром масс протяжённого тела, и разложить гравитационный потенциал в ряд Тейлора вблизи этой точки, то на первом ненулевом порядке после однородного ускорения появляется т.н. приливный тензор:
$$ a_i = -\sum_j \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x_i \partial x_j} \Delta x_j $$
где Φ — гравитационный потенциал, Δxj — координата внутри тела относительно его центра масс. Величина $\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x_i \partial x_j}$ описывает пространственные изменения гравитационного поля — вторые производные потенциала или градиент ускорения.
Тензор приливных ускорений отвечает за внутренние напряжения, растяжения и сжатия внутри протяжённых тел в поле другого массивного тела.
Приливные силы могут вызывать не только деформации, но и диссипацию механической энергии в форме тепла. Это особенно важно в астрофизике, где взаимодействие планет и спутников приводит к значительным геофизическим эффектам.
Классическим примером является система Юпитер — Ио. Спутник Ио движется по эллиптической орбите, и приливные силы от Юпитера вызывают постоянное сжатие и растяжение тела Ио. В результате внутреннего трения происходит приливный разогрев, приводящий к вулканической активности на Ио — наиболее активного вулканически объекта в Солнечной системе.
Аналогичные процессы происходят и на других спутниках: Тритон (Нептун), Энцелад (Сатурн), Европа (Юпитер), где приливное нагревание рассматривается как возможный источник энергии, поддерживающий подповерхностные океаны в жидком состоянии.
Приливные силы могут достигать такой величины, что они превышают внутреннее гравитационное сцепление тела. Это приводит к его разрушению. Расстояние, на котором это происходит, называют пределом Роша. Впервые он был рассчитан Эдуардом Рошем в 19 веке. Для несжимаемого спутника и центрального сферического тела предел Роша rR выражается как:
$$ r_R = 2{.}44 \, R \left( \frac{\rho_M}{\rho_m} \right)^{1/3} $$
где R — радиус центрального тела, ρM и ρm — плотности центрального и вторичного тел соответственно.
Если спутник пересекает предел Роша, он может быть приливно разрушен, и его обломки могут сформировать кольцевую систему, как это произошло, возможно, в случае с кольцами Сатурна.
В ОТО приливные силы не являются дополнительным эффектом, а естественным проявлением кривизны пространства-времени. Два близко расположенных свободно падающих наблюдателя будут испытывать относительное ускорение, описываемое уравнением геодезической девиации:
$$ \frac{D^2 \xi^\mu}{d\tau^2} = -R^\mu_{\ \nu\rho\sigma} u^\nu \xi^\rho u^\sigma $$
где ξμ — вектор отклонения между геодезическими, uμ — 4-скорость наблюдателя, а R νρσμ — тензор кривизны Римана. Именно компоненты тензора Римана определяют приливные эффекты.
Это фундаментальное уравнение лежит в основе понимания таких явлений, как спагеттификация — разрушение тела вблизи горизонта событий чёрной дыры из-за чудовищных приливных градиентов. Например, при падении на чёрную дыру звезда может быть растянута в длинный поток вещества и частично аккрецирована, что сопровождается вспышками излучения, наблюдаемыми астрономами.
Приливные силы вызывают не только приливы в океанах, но и взаимные деформации тел, влияющие на их динамику. Земля, взаимодействуя с Луной, не только вызывает приливы в морях и океанах, но и подвергается самой приливной деформации. Из-за трения в земной коре и океанах происходит обратное влияние — торможение вращения Земли и постепенное удаление Луны от Земли со скоростью около 3,8 см в год.
Этот механизм известен как приливное взаимодействие и приводит к захвату тел во вынужденный резонанс: вращение спутника синхронизируется с его орбитальным движением. Именно так Луна всегда обращена к Земле одной стороной — она находится в состоянии приливного захвата.
Аналогичные процессы происходят во многих планетных системах, особенно в системах экзопланет, обращающихся близко к своим звёздам (горячие юпитеры и суперземли), где приливное взаимодействие играет ключевую роль в стабилизации орбит и ориентации вращения.
Для анализа приливных эффектов удобно вводить приливной потенциал, связанный с внешним гравитационным полем, действующим на тело. Этот потенциал можно разложить в сферические гармоники. Например, на орбите спутника приливной потенциал имеет квадрупольную форму:
$$ U_{tide}(\vec{r}) = -\frac{GM'}{r'^3} \left( \frac{1}{2} r^2 - \frac{3}{2} (\vec{r} \cdot \hat{r}')^2 \right) $$
где M′ — масса внешнего тела, r⃗ — положение внутри деформируемого тела, r⃗′ — расстояние до возмущающего тела. Этот потенциал приводит к возникновению приливного булля на поверхности, удлиняющегося в направлении на возмущающее тело.
Ответ на этот потенциал в виде деформации описывается числом Лава — безразмерным параметром, отражающим степень деформируемости тела. Значение числа Лава зависит от внутренней структуры тела и используется, например, для изучения состава спутников, экзопланет и планет-гигантов.
Приливные силы играют важную роль в формировании галактик, их взаимодействии и слияниях. При приближении двух галактик гравитационные приливные силы вызывают деформации и выброс звёздного вещества, формируя так называемые приливные хвосты, видимые на изображениях, полученных с помощью телескопов.
Также приливные силы участвуют в переносе углового момента, что способствует внутреннему перераспределению массы, как в звёздах, так и в аккреционных дисках. Они влияют на стабильность систем и могут быть критическим фактором при образовании планет и спутников.
В контексте крупномасштабной структуры Вселенной приливные поля, генерируемые неравномерным распределением масс, влияют на движение галактик и формирование кластеров, будучи отражением тензорной компоненты гравитационного поля в релятивистской космологии.