Принцип эквивалентности является краеугольным камнем общей теории относительности. Он утверждает, что локально (в достаточно малой области пространства-времени) эффекты, вызванные гравитацией, неотличимы от эффектов, возникающих при движении в ускоренной системе отсчёта. Другими словами, гравитационное поле эквивалентно ускоренному движению.
Формально можно выделить несколько формулировок принципа эквивалентности:
Слабый принцип эквивалентности (СПЭ): Все тела в одинаковом гравитационном поле испытывают одинаковое ускорение независимо от их массы, состава или внутренней структуры. Этот принцип тесно связан с равенством инертной и гравитационной масс.
Принцип локальной инерциальности: В любой точке пространства-времени можно ввести такую локальную инерциальную систему координат, в которой уравнения движения частиц и законы физики принимают форму, аналогичную их виду в специальной теории относительности.
Общий (или сильный) принцип эквивалентности: Все законы физики (а не только уравнения движения) одинаковы во всех локальных инерциальных системах, независимо от того, находятся ли они в гравитационном поле или нет.
Принцип эквивалентности имеет богатую экспериментальную основу:
Эти эксперименты подтверждают, что инертная масса пропорциональна гравитационной с чрезвычайной точностью.
Принцип эквивалентности позволяет перейти от описания гравитации как силы (в духе ньютоновской механики) к её интерпретации как проявления кривизны пространства-времени. Если в малой области пространство-время можно аппроксимировать как плоское (и, следовательно, эквивалентное инерциальной системе специальной теории относительности), то в более крупных масштабах кривизна становится заметной. Это и есть проявление гравитации в общей теории относительности.
Локальная инерциальная система отсчёта соответствует системе координат, в которой в точке исчезают связности:
Γμνλ = 0.
Однако производные связностей в целом не исчезают, что отражает наличие кривизны пространства-времени.
Пусть частица движется по геодезической линии в пространстве-времени с метрикой gμν. Уравнение её движения записывается как:
$$ \frac{d^2 x^\lambda}{d\tau^2} + \Gamma^\lambda_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau} = 0, $$
где τ — собственное время, а Γμνλ — символы Кристоффеля. Эти символы зависят от производных метрики, а значит, отражают свойства гравитационного поля.
Если в данной точке можно выбрать систему координат, в которой Γμνλ = 0, то в ней частица будет двигаться как в плоском пространстве. Это и есть реализация принципа эквивалентности.
Принцип эквивалентности был отправной точкой для Эйнштейна при создании общей теории относительности. Именно он привёл к выводу, что гравитация не является силой в привычном смысле, а представляет собой проявление геометрии пространства-времени.
Эйнштейн заметил, что свободно падающее тело не ощущает собственного веса, т.е. движется по прямой линии в локально инерциальной системе. Это наблюдение стало основой для замены понятий силы гравитации на представление о геодезических линиях в искривлённом пространстве-времени.
Следствием этого подхода стало использование тензорных уравнений, инвариантных относительно общих координатных преобразований. Такая формулировка невозможна без универсальности действия гравитации, которую и обеспечивает принцип эквивалентности.
Одним из следствий принципа эквивалентности является гравитационное красное смещение. Свет, поднимающийся вверх в гравитационном поле, теряет энергию, и его частота уменьшается. Пусть два наблюдателя находятся на разных гравитационных потенциалах ϕ1 и ϕ2, тогда частоты излучения, наблюдаемые ими, связаны соотношением:
$$ \frac{\nu_2}{\nu_1} = 1 + \frac{\phi_1 - \phi_2}{c^2}. $$
Этот эффект был подтверждён в опытах Паунда и Ребки (Pound–Rebka, 1959), где использовался эффект Мёссбауэра для измерения частотных сдвигов при перемещении фотонов в гравитационном поле Земли.
Применение сильного принципа эквивалентности требует, чтобы все физические законы, включая уравнения электродинамики, сохраняли свою форму в локальной инерциальной системе. Это обеспечивает геометрический подход к построению физических теорий в искривлённом пространстве-времени: уравнения записываются в ковариантной форме, используя тензоры и ковариантные производные, чтобы быть независимыми от конкретного выбора координат.
В частности, уравнения Максвелла в искривлённом пространстве могут быть записаны как:
∇μFμν = μ0Jν,
где Fμν — тензор электромагнитного поля, Jν — 4-ток, а ∇μ — ковариантная производная. Принцип эквивалентности обеспечивает возможность локального применения этих уравнений как в плоском, так и в искривлённом пространстве.
Хотя принцип эквивалентности лежит в основе ОТО, его обобщения и модификации вызывают активные исследования:
Тем не менее, в рамках классической физики, и особенно общей теории относительности, принцип эквивалентности остаётся фундаментальной основой всей гравитационной картины мира.