Принцип суперпозиции гравитационных полей утверждает, что результирующее гравитационное поле, создаваемое несколькими телами, равно векторной сумме полей, создаваемых каждым телом по отдельности. Это означает, что если в некоторой точке пространства действуют гравитационные силы от нескольких источников, то общая сила равна алгебраической (векторной) сумме этих сил:
g⃗общ = g⃗1 + g⃗2 + g⃗3 + … + g⃗n
или, в дифференциальной форме:
$$ \vec{g}(\vec{r}) = \sum_{i=1}^{n} \vec{g}_i(\vec{r}) $$
где каждая компонента g⃗i(r⃗) соответствует гравитационному полю от i-го источника массы.
Гравитационное поле, создаваемое точечной массой mi в точке пространства r⃗, определяется по формуле:
$$ \vec{g}_i(\vec{r}) = -G \frac{m_i (\vec{r} - \vec{r}_i)}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^3} $$
где:
Принцип суперпозиции применим напрямую, подставляя каждое такое поле в сумму. Он позволяет вычислить результирующее поле даже в системах с произвольным числом тел, что делает его фундаментальным инструментом при решении гравитационных задач.
Принцип суперпозиции возможен благодаря линейности закона всемирного тяготения по массе. Это означает, что если масса mi увеличится в k раз, то и соответствующее поле g⃗i возрастёт в k раз. Аналогично, если имеется два тела, каждое создающее поле g⃗1 и g⃗2, то результирующее поле будет просто g⃗1 + g⃗2. Это свойство отличает гравитационное взаимодействие от нелинейных теорий (например, общей теории относительности, в которой суперпозиция применяется ограниченно).
Рассмотрим две точечные массы m1 и m2, расположенные в точках r⃗1 и r⃗2. В произвольной точке r⃗ гравитационное поле будет:
$$ \vec{g}(\vec{r}) = -G \left( \frac{m_1 (\vec{r} - \vec{r}_1)}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^3} + \frac{m_2 (\vec{r} - \vec{r}_2)}{|\vec{r} - \vec{r}_2|^3} \right) $$
Этот пример демонстрирует ключевую идею: поля складываются векторно, и результат зависит от направления и величины каждой компоненты поля.
Если масса распределена непрерывно, то сумма заменяется на интеграл. В этом случае гравитационное поле в точке r⃗, создаваемое объемным распределением массы ρ(r⃗′), вычисляется по формуле:
$$ \vec{g}(\vec{r}) = -G \int_V \frac{\rho(\vec{r}') (\vec{r} - \vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3} \, dV' $$
где:
Этот интеграл, по сути, является интегральной формой суперпозиции для непрерывных источников гравитационного поля.
Поскольку гравитационное поле можно выразить как градиент гравитационного потенциала:
g⃗(r⃗) = −∇φ(r⃗),
а гравитационный потенциал φ также удовлетворяет принципу суперпозиции:
φ(r⃗) = ∑iφi(r⃗),
то можно сначала найти скалярный потенциал от каждого источника, просуммировать его, а затем вычислить поле как градиент:
g⃗(r⃗) = −∇(∑iφi(r⃗))
или в интегральной форме для непрерывного распределения массы:
$$ \varphi(\vec{r}) = -G \int_V \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \, dV', \quad \vec{g}(\vec{r}) = -\nabla \varphi(\vec{r}) $$
Этот подход часто упрощает аналитические вычисления, особенно при наличии симметрии в задаче.
Рассмотрим множество векторов гравитационного поля от различных масс. Каждое поле g⃗i в некоторой точке пространства — это вектор, направленный от точки наблюдения к массе mi (или наоборот, в зависимости от принятой конвенции). Векторное сложение всех этих полей эквивалентно построению результирующего вектора по правилу многоугольника. Это наглядно демонстрирует, как массы «перетягивают» друг друга, создавая суммарное воздействие в данной точке.
Пусть имеется однородный тонкий стержень длиной L, лежащий вдоль оси x, и нужно найти гравитационное поле в точке P, находящейся на перпендикуляре к середине стержня на расстоянии h.
Масса стержня распределена с линейной плотностью λ = M/L. Дифференциальный элемент массы:
dm = λdx
Расстояние от элемента dx, расположенного на координате x, до точки P будет:
$$ r = \sqrt{x^2 + h^2} $$
Элемент гравитационного поля:
$$ dg = G \frac{dm}{r^2} = G \frac{\lambda dx}{x^2 + h^2} $$
По симметрии компоненты вдоль x сокращаются, остается вертикальная компонента вдоль h:
$$ g = 2G\lambda \int_0^{L/2} \frac{h}{(x^2 + h^2)^{3/2}} dx $$
Интегрируя, получаем:
$$ g = \frac{2G\lambda}{h} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + h^2}} \right) \Bigg|_0^{L/2} = \frac{2G\lambda}{h} \left( \frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^2 + h^2}} \right) $$
Этот результат есть следствие принципа суперпозиции, реализованного через интеграл по распределенной массе.
Принцип суперпозиции — краеугольный камень в теоретической и вычислительной гравитационной физике. Он лежит в основе методов:
Он также используется в задачах обратного гравиметрического моделирования, где по известному полю пытаются восстановить распределение масс внутри Земли или других тел.