Распространение гравитационных волн

Математическое описание распространения гравитационных волн

Гравитационные волны, согласно общей теории относительности, представляют собой возмущения метрики пространства-времени, распространяющиеся со скоростью света. Они возникают как решения линеаризованных уравнений Эйнштейна на фоне плоского пространства Минковского при наличии нестационарного тензора энергии-импульса, и могут распространяться в вакууме, независимо от материи.

В приближении слабого поля метрика пространства-времени записывается в виде

g_μν = η_μν + h_μν,  |h_μν| ≪ 1,

где η_μν — метрика Минковского, а h_μν — малое возмущение. После введения калибровки Лоренца:

$$ \partial^\nu \bar{h}_{\mu\nu} = 0, \quad \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h, \quad h = h^{\lambda}_{\ \lambda}, $$

уравнения Эйнштейна в линейном приближении принимают вид волнового уравнения:

$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

где □ = η^ρσ∂_ρ∂_σ — волновой оператор, действующий в плоском пространстве.

В вакууме (T_μν = 0) это уравнение принимает форму

□h̄_μν = 0,

описывая свободное распространение гравитационных волн. Решения данного уравнения — это плоские волны:

h̄_μν(x) = A_μνe^ik_σxσ,  k^σk_σ = 0,

где волновой вектор k^μ является нулевым (характеристическим), отражая распространение со скоростью света.

Калибровка и поперечно-трассировочная форма

После наложения трансверсально-трассировочной (TT) калибровки волна h_μν удовлетворяет следующим условиям:

• h_0μ^TT = 0,
• ∂^jh_ij^TT = 0,
• h _iⁱ = 0.

Таким образом, ненулевыми остаются только пространственные компоненты h_ij^TT, которые поперечны направлению распространения волны и без следа. Для волны, распространяющейся вдоль оси z, это приводит к следующей структуре:

$$ h_{ij}^{TT}(t,z) = \begin{pmatrix} h_+(t - z/c) & h_\times(t - z/c) & 0 \\ h_\times(t - z/c) & -h_+(t - z/c) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, $$

где h₊ и h_× — амплитуды двух независимых поляризаций гравитационной волны: «плюс» и «крест».

Энергия гравитационных волн

Хотя гравитационное поле не обладает локализованной энергией в строгом смысле, в линейной теории можно ввести эффективный тензор энергии-импульса гравитационной волны — тензор Исаакасона. Для волны в TT-форме усреднённая плотность энергии имеет вид:

$$ \langle T^{GW}_{00} \rangle = \frac{c^2}{32\pi G} \left\langle \partial_t h_{ij}^{TT} \, \partial_t h_{ij}^{TT} \right\rangle, $$

где угловые скобки обозначают усреднение по временному интервалу, превышающему длину волны. Аналогично определяется поток энергии:

$$ \langle T^{GW}_{0z} \rangle = \frac{c^2}{32\pi G} \left\langle \partial_t h_{ij}^{TT} \, \partial_z h_{ij}^{TT} \right\rangle. $$

Дальняя зона и квадрупольное излучение

Для излучения гравитационных волн источниками, локализованными в ограниченном объёме, в дальней зоне (r ≫ размер источника) возмущение метрики приближённо выражается через второй производной от квадрупольного момента Q_ij распределения массы:

$$ h_{ij}^{TT}(t, \vec{x}) = \frac{2G}{c^4 r} \frac{d^2}{dt^2} Q_{ij}^{TT}\left(t - \frac{r}{c}\right), $$

где Q_ij — тензор квадрупольного момента массы:

$$ Q_{ij} = \int \rho(\vec{x}) \left(x^i x^j - \frac{1}{3} \delta^{ij} r^2 \right) d^3x. $$

Таким образом, только нестационарные конфигурации с изменяющимся во времени квадрупольным моментом могут излучать гравитационные волны.

Поляризация и действие на тестовые тела

Гравитационные волны действуют на пробные тела, изменяя расстояния между ними. Рассмотрим кольцо свободных частиц в плоскости xy. Под действием волны с поляризацией h₊, частицы будут периодически растягиваться вдоль оси x и сжиматься вдоль оси y и наоборот. Поляризация h_× деформирует кольцо под углом 45° к осям. Эти деформации определяются геодезической девиацией:

$$ \frac{d^2 \xi^i}{dt^2} = - R^i_{\ 0j0} \xi^j, $$

где ξ^j — вектор отклонения между двумя частицами, а компоненты тензора кривизны R _0j0ⁱ выражаются через вторые производные от h_ij^TT.

Распространение в криволинейном пространстве

На изогнутом фоне гравитационные волны по-прежнему описываются уравнением возмущений метрики. В случае слабых гравитационных полей можно применять приближение геометрической оптики: волна h_μν представляется как быстро осциллирующая функция с медленно меняющейся амплитудой:

h_μν = Re{????_μν(x)e^iθ(x)/ε},  ε ≪ 1.

В этом приближении фазовые поверхности удовлетворяют уравнению Гамильтона-Якоби:

g^μν∂_μθ ∂_νθ = 0,

что означает, что гравитационные волны распространяются по нулевым геодезическим линиям фона. Амплитуда подчиняется уравнению транспортировки, аналогичному закону сохранения потока энергии.

Затухание и дисперсия

В вакууме в общей теории относительности гравитационные волны не испытывают дисперсии и распространяются без затухания. Однако при наличии анизотропного фона, взаимодействия с материей, скалярных или векторных компонент в расширенных теориях гравитации возможны отклонения: затухание, дисперсия, изменение скорости распространения. Это позволяет использовать наблюдения гравитационных волн как инструмент проверки общей теории относительности.

Обнаружение и обратная задача

Гравитационные волны регистрируются посредством интерферометров (например, LIGO, Virgo), которые измеряют относительное изменение расстояний между зеркалами в плечах. Регистрируемый сигнал представляет собой проекцию тензора h_ij^TT на соответствующие направления. На основании формы сигнала и его задержки между детекторами решается обратная задача: восстанавливаются параметры источника, такие как масса, спин, расстояние и ориентация.

Космологическое распространение

В расширяющейся Вселенной (метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уолкера) гравитационные волны удовлетворяют уравнению:

$$ \ddot{h}_{ij} + 3H \dot{h}_{ij} - \frac{1}{a^2} \nabla^2 h_{ij} = 0, $$

где a(t) — масштабный фактор, H = ȧ/a — параметр Хаббла. Здесь проявляется космологическое красное смещение гравитационных волн, аналогичное электромагнитным: частота волны уменьшается как ω ∝ 1/a(t). Это имеет важное значение при анализе реликтового гравитационного фона и сигналов от далёких источников.