Релятивистская механика возникает как необходимость описания движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Основу этой теории составляют постулаты специальной теории относительности (СТО), сформулированные Эйнштейном в 1905 году. В релятивистской физике отказывается абсолютность времени и пространства, вводится четырёхмерное пространство-время Минковского, и меняются понятия массы, импульса и энергии.
Первый постулат (принцип относительности): Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.
Второй постулат (инвариантность скорости света): Скорость света в вакууме одинакова для всех наблюдателей и не зависит от движения источника или приёмника.
В релятивистской механике события описываются четырёхмерным вектором:
xμ = (ct, x, y, z)
где μ = 0, 1, 2, 3. Метрика пространства-времени Минковского имеет вид:
ds2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 = ημνdxμdxν
где ημν = diag(−1, 1, 1, 1) — метрический тензор Минковского. Интервал ds2 инвариантен при преобразованиях Лоренца и играет фундаментальную роль в релятивистской кинематике и динамике.
Релятивистская инвариантность требует замены преобразований Галилея на преобразования Лоренца. Для движения вдоль оси x:
$$ \begin{aligned} t' &= \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right) \\ x' &= \gamma (x - vt) \\ y' &= y \\ z' &= z \\ \gamma &= \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \end{aligned} $$
Появляется эффект замедления времени, сокращения длины, а также релятивистское сложение скоростей:
$$ u' = \frac{u - v}{1 - uv/c^2} $$
В релятивистской механике физические величины удобно выражать через четырёхвекторы, преобразующиеся по законам Лоренца.
Четырёх-импульс:
$$ p^\mu = m u^\mu = m \frac{dx^\mu}{d\tau} = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right) $$
где τ — собственное время, E = γmc2, p⃗ = γmv⃗. Квадрат четырёх-импульса:
pμpμ = −m2c2
инвариантен, что обуславливает знаменитую связь между энергией, импульсом и массой:
E2 = p2c2 + m2c4
Четырёх-сила:
$$ f^\mu = \frac{dp^\mu}{d\tau} $$
— релятивистский обобщённый закон второго закона Ньютона. В проекции на трёхмерное пространство сила зависит не только от ускорения, но и от направления движения тела.
При рассмотрении движения тел под действием сил, релятивистские уравнения существенно отличаются от ньютоновских.
Уравнение движения:
$$ \frac{d}{d\tau} (m u^\mu) = f^\mu $$
Ускорение и сила не обязательно параллельны. Например, если на частицу действует постоянная сила вдоль направления движения, её скорость стремится к c, но никогда не достигает его, так как энергия стремится к бесконечности.
Работа и энергия:
Работа силы выражается через скалярное произведение четырёх-векторов:
δW = fμdxμ
Полная энергия покоя тела: E0 = mc2. При наличии движения:
E = γmc2
что приводит к увеличению эффективной инерции тела с ростом скорости.
В релятивистской физике понятию массы придаётся строгое значение — неподвижная масса или инвариантная масса m, остающаяся неизменной в любой инерциальной системе. Часто в прошлом использовалось понятие релятивистской массы mrel = γm, однако современная формулировка отказывается от этого, подчеркивая приоритет четырёх-импульса.
Для безмассовых частиц (например, фотонов) m = 0, но:
E = pc
Частицы всегда движутся со скоростью света, и их поведение описывается исключительно через волновые свойства и тензоры поля (например, электромагнитного поля). Четырёх-векторы для таких частиц остаются нулевыми по квадрату:
pμpμ = 0
Это приводит к специфике их динамики и распространению по нулевым геодезическим.
В системах с несколькими телами сохраняется сумма четырёх-импульсов:
∑ipiμ = const
В центре масс системы (где сумма пространственных импульсов равна нулю), энергия даёт массу всей системы:
Mсистc2 = ∑iEi
Даже если отдельные компоненты безмассовы (например, два фотона), вся система может обладать ненулевой инвариантной массой, если их импульсы не компенсируют друг друга.
Переход между системами отсчёта требует преобразования энергии и импульса по правилам Лоренца:
$$ \begin{aligned} E' &= \gamma (E - v p_x) \\ p_x' &= \gamma \left(p_x - \frac{vE}{c^2}\right) \end{aligned} $$
Эти преобразования применяются для анализа столкновений, распадов частиц, реакций и явлений в астрофизике.
Рассмотрим релятивистский распад частицы: A → B + C. В системе покоя A выполняются законы сохранения:
$$ \begin{aligned} E_A &= E_B + E_C \\ \vec{p}_A &= \vec{p}_B + \vec{p}_C \end{aligned} $$
Из инвариантности четырёх-импульса следует:
mA2c4 = (EB + EC)2 − c2(p⃗B + p⃗C)2
что даёт способ определения массы mA по продуктам распада, и позволяет описывать энергетические спектры частиц.
Хотя релятивистская механика основывается на СТО и действует в плоском пространстве-времени Минковского, её формализм необходим для построения общей теории относительности (ОТО), где частицы движутся по геодезическим в искривлённом пространстве-времени. Переход от частной к общей релятивистской механике осуществляется через замену производных на ковариантные, метрики Минковского — на произвольную псевдориманову метрику gμν, а законы сохранения получают геометрическую интерпретацию.