Решение де Ситтера и анти-де Ситтера в общей теории относительности
Решение де Ситтера представляет собой решение уравнений Эйнштейна в отсутствие вещества, но с ненулевой положительной космологической постоянной Λ > 0. Оно описывает однородное и изотропное пространство-время, в котором гравитационная динамика определяется исключительно геометрическим вкладом Λ. Уравнения Эйнштейна в этом случае принимают вид:
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 0 $$
Из этого следует, что:
Rμν = Λgμν, R = 4Λ
Метрика де Ситтера в статической координатной системе может быть записана как:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{\Lambda r^2}{3} \right)dt^2 + \left(1 - \frac{\Lambda r^2}{3} \right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2) $$
Эта форма демонстрирует наличие космологического горизонта при $r = \sqrt{3/\Lambda}$, аналогичного горизонту событий черной дыры, но имеющего космологическую природу. Пространственно-временная область вне этого горизонта недостижима для наблюдателя в данной системе координат.
Также широко используется форма метрики в конформно плоских координатах, особенно в космологическом контексте:
$$ ds^2 = \frac{1}{(H\eta)^2} \left( -d\eta^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \right) $$
где η ∈ (−∞, 0), а $H = \sqrt{\Lambda/3}$ — постоянная Хаббла в этом решении. Эта форма явно подчеркивает конформную плоскость пространства-времени де Ситтера.
Экспоненциальный характер расширения:
a(t) = eHt
при этом функция Хаббла остается постоянной, что отражает равномерный ускоренный рост масштаба Вселенной.
Решение анти-де Ситтера (AdS) характеризуется отрицательной космологической постоянной Λ < 0. Геометрия этого пространства имеет гиперболическую пространственную кривизну и играет ключевую роль в теоретической физике, особенно в контексте AdS/CFT-соответствия.
Уравнение Эйнштейна с отрицательной Λ:
Rμν = Λgμν, R = 4Λ < 0
Пространство анти-де Ситтера в статических координатах:
$$ ds^2 = -\left(1 + \frac{| \Lambda | r^2}{3} \right)dt^2 + \left(1 + \frac{| \Lambda | r^2}{3} \right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2) $$
Однако для изучения глобальной структуры удобнее использовать глобальные координаты:
$$ ds^2 = \frac{1}{\cos^2\rho} \left( -dt^2 + d\rho^2 + \sin^2\rho \, d\Omega^2 \right), \quad 0 \leq \rho < \frac{\pi}{2} $$
Пространство анти-де Ситтера не является причинно завершённым: наблюдатель может послать сигнал, который достигнет границы пространства за конечное собственное время. Это отражает причинную открытость AdS-пространства и является критически важной особенностью в голографических теориях.
Пространства де Ситтера и анти-де Ситтера могут быть представлены в виде вложенных гиперповерхностей в более высокоразмерных плоских пространствах:
$$ -X_0^2 + X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + X_4^2 = \alpha^2, \quad \alpha = \sqrt{3/\Lambda} $$
в псевдоевклидовом пространстве с сигнатурой (−, +, +, +, +).
$$ -X_0^2 - X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + X_4^2 = -\alpha^2, \quad \alpha = \sqrt{3/|\Lambda|} $$
в пространстве с сигнатурой (−, −, +, +, +), что подчёркивает гиперболическую структуру времени.
Такая формализация позволяет провести компактное отображение пространства и визуализировать его в виде диаграммы Пенроуза-Картера, где световые траектории наклонены на 45°, а бесконечности сведены в конечную область.
Пространство де Ситтера лежит в основе модели инфляции — ранней фазы ускоренного расширения Вселенной. Эта модель объясняет однородность, изотропность и плоскость наблюдаемой Вселенной, а также порождает флуктуации, послужившие семенами для формирования структуры.
Пространство анти-де Ситтера — ключевая арена для голографического принципа, реализуемого через соответствие Малдасены: гравитационная теория в пятимерном AdS5 × S5 эквивалентна четырёхмерной конформной теории поля без гравитации (например, ???? = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса). Это соответствие позволило получить глубокое понимание квантовой гравитации, термодинамики черных дыр и сильносвязанных квантовых теорий.
Одним из интересных классов решений являются черные дыры в анти-де Ситтеровском фоне, например:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r} + \frac{r^2}{L^2} \right)dt^2 + \left(1 - \frac{2M}{r} + \frac{r^2}{L^2} \right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2 $$
где $L = \sqrt{-3/\Lambda}$. Эти решения играют ключевую роль в изучении термодинамики и фазовых переходов в голографической теории.
| Характеристика | Пространство де Ситтера | Пространство анти-де Ситтера |
|---|---|---|
| Космологическая постоянная Λ | Положительная Λ > 0 | Отрицательная Λ < 0 |
| Пространственная кривизна | Положительная | Отрицательная |
| Горизонт событий | Присутствует (космологический) | Отсутствует |
| Глобальная причинность | Причинная ограниченность | Причинная открытость |
| Применение в космологии | Инфляция, ускоренное расширение | Голография, AdS/CFT |
| Скалярная кривизна R | R = 4Λ > 0 | R = 4Λ < 0 |
Оба решения являются фундаментальными моделями в современной гравитационной физике. Они иллюстрируют, как чисто геометрические свойства (значение Λ) формируют структуру пространства-времени, даже в отсутствие вещества.