Метрика Керра: стационарное осесимметричное вакуумное решение
После открытия решения Шварцшильда и его обобщения Райсснера–Нордстрёма, описывающих статические сферически симметричные чёрные дыры, следующим логическим шагом стало рассмотрение вращающихся источников. Вращение — фундаментальное свойство астрофизических объектов, и необходимо было найти решение уравнений Эйнштейна во вращающемся случае. Такое решение впервые получил Рой Керр в 1963 году. Оно описывает геометрию пространства-времени вне вращающегося несмещённого массивного тела и стало основой современной теории вращающихся чёрных дыр.
Форма метрики Керра
Метрика Керра представляет собой точное решение уравнений Эйнштейна в вакууме. Она выражается в бойер-линдвистских координатах (t, r, θ, φ) следующим образом:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GMr}{\Sigma}\right)dt^2 - \frac{4GMar\sin^2\theta}{\Sigma} dt d\varphi + \frac{\Sigma}{\Delta} dr^2 + \Sigma d\theta^2 + \left(r^2 + a^2 + \frac{2GMa^2r\sin^2\theta}{\Sigma}\right)\sin^2\theta d\varphi^2, $$
где используются обозначения:
Σ = r2 + a2cos2θ, Δ = r2 − 2GMr + a2,
а $a = \frac{J}{M}$ — удельный момент импульса (момент импульса на единицу массы).
Основные свойства решения
Метрика Керра описывает стационарное и осесимметричное пространство-время. Это означает, что существуют два коммутирующих киллинг-вектора: ∂t и ∂φ, отвечающие за независимость от времени и инвариантность при вращении вокруг оси симметрии.
Отличительной чертой метрики Керра является её вихревое поведение: вокруг вращающейся чёрной дыры возникает эффект перетаскивания инерциальных систем (фрейм-дрэггинг), при котором локальные системы отсчёта «вовлекаются» в вращение.
Горизонты и эргосфера
Функция Δ = 0 определяет положения горизонтов:
$$ r_\pm = GM \pm \sqrt{(GM)^2 - a^2}. $$
Здесь r+ — это радиус внешнего горизонта событий, а r− — внутреннего (также называемого горизонтом Коши). При a = GM горизонт событий и внутренний горизонт совпадают, и чёрная дыра называется экстремальной.
Кроме горизонта, в решении Керра существует важная область — эргосфера. Она ограничена поверхностью, где компонент gtt = 0. Радиус эргосферы:
$$ r_{\text{erg}}(\theta) = GM + \sqrt{(GM)^2 - a^2 \cos^2\theta}. $$
Эргосфера лежит вне горизонта событий и обладает свойством, что внутри неё никакой наблюдатель не может оставаться в покое относительно бесконечности. Любое тело в эргосфере вынуждено соучаствовать во вращении чёрной дыры.
Особенности сингулярности
В отличие от решения Шварцшильда, сингулярность в метрике Керра не точечная, а имеет форму кольца:
$$ \Sigma = 0 \quad \Rightarrow \quad r = 0, \quad \theta = \frac{\pi}{2}. $$
Это кольцевая сингулярность, окружённая областью, в которой возможны замкнутые времениподобные кривые. Эти свойства указывают на наличие фундаментальных проблем с причинностью внутри вращающихся чёрных дыр, особенно за внутренним горизонтом.
Предельные случаи
Метрика Керра переходит в метрику Шварцшильда при a = 0, и в метрику Керра–Ньюмана при включении электрического заряда Q ≠ 0. Также возможно рассмотреть экстремальный случай a = GM, при котором Δ имеет кратный корень, и горизонты сливаются:
r+ = r− = GM.
При a > GM исчезают горизонты, и сингулярность становится голой — такая конфигурация запрещается гипотезой о космической цензуре.
Геодезические и движения частиц
Из-за симметрий решения Керра существует три интеграла движения для свободной частицы: энергия E, проекция момента импульса Lz, и картеровская константа Q. Благодаря этому, движение тестовой частицы в метрике Керра интегрируемо.
Эргосфера допускает реализацию механизма Пенроуза: если частица распадается в эргосфере на две части, одна из которых уходит внутрь с отрицательной энергией относительно бесконечности, вторая может унести больше энергии, чем имела исходная частица. Это фундаментальный механизм извлечения энергии из вращающейся чёрной дыры.
Глобальная структура и продолжение
Продолжение решения Керра внутрь горизонтов показывает богатую и сложную глобальную структуру. Пространство-время допускает множественные регионы, соединённые через мосты и тоннели, напоминающие “кротовые норы”, но они нестабильны по отношению к любому возмущению. Часть этих регионов содержит замкнутые времениподобные кривые, что делает физический смысл внутренней области решения Керра спорным.
Физическая реалистичность и астрофизические применения
Несмотря на внутренние особенности, метрика Керра обладает высокой степенью внешней реалистичности. Согласно “теореме об отсутствии волос”, устойчивые чёрные дыры в природе описываются исключительно тремя параметрами: массой M, моментом импульса J и зарядом Q. Поскольку заряд в астрофизике, как правило, исчезающе мал, практически все вращающиеся чёрные дыры описываются метрикой Керра.
Наблюдательные данные о квазипериодических колебаниях, эффектах линзирования, тени чёрной дыры (наблюдаемой, например, Event Horizon Telescope) и спектре аккреционных дисков успешно описываются в рамках метрики Керра.
Аналитические свойства и инварианты
Метрика Керра — решение вакуумных уравнений Эйнштейна Rμν = 0, и потому её кривизна характеризуется только тензором Вейля Cμνρσ. Решение принадлежит к типу D по классификации Петрова. Скаляры кривизны, такие как инвариант Кретшмана RμνρσRμνρσ, расходятся при Σ = 0, что и соответствует сингулярности.
Эффекты вращения и гравимагнитные поля
Метрика Керра приводит к появлению гравимагнитного поля — аналога магнитного поля в гравитации. Это проявляется в эффектах прецессии гироскопов и инерциального фрейм-дрэггинга (эффект Лензе–Тирринга), наблюдаемых в экспериментах вроде Gravity Probe B.
Роль в теории и наблюдениях
Решение Керра занимает центральное место в современной теории чёрных дыр, общей теории относительности и астрофизике. Оно лежит в основе многих теоретических и численных моделей аккреции, джетов, слияния чёрных дыр и гравитационного излучения. Метрика Керра также служит базой для моделирования сигналов гравитационных волн в детекторах типа LIGO и Virgo.