Решение Керра-Ньюмена

Метрика Керра-Ньюмена: обобщённое решение для вращающегося заряженного тела

Решение Керра-Ньюмена представляет собой точное стационарное, осесимметричное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла, описывающее гравитационное поле вращающегося заряженного тела. Оно обобщает три известных решения:

Решение Шварцшильда (невращающееся и незаряженное),
Решение Рейсснера-Нордстрёма (заряженное, но невращающееся),
Решение Керра (вращающееся, но незаряженное).

Таким образом, метрика Керра-Ньюмена включает в себя массу тела, угловой момент и электрический заряд.

Пусть тело обладает массой M, зарядом Q и моментом импульса J = aM, где a — параметр вращения, связанный с угловым моментом на единицу массы.

Вид метрики Керра-Ньюмена

Метрика Керра-Ньюмена в координатах Бойера–Линдквиста (t, r, θ, ϕ) имеет следующий вид:

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2Mr - Q^2}{\Sigma}\right)dt^2 - \frac{2a\sin^2\theta(2Mr - Q^2)}{\Sigma}dt\,d\phi + \frac{\Sigma}{\Delta}dr^2 + \Sigma\,d\theta^2 + \sin^2\theta \left( r^2 + a^2 + \frac{(2Mr - Q^2)a^2\sin^2\theta}{\Sigma} \right) d\phi^2, $$

где:

Σ = r² + a²cos²θ, Δ = r² − 2Mr + a² + Q².

Электромагнитный потенциал

Одновременно с гравитационным полем в этом решении присутствует электромагнитное поле. Потенциал четырёхвектора электромагнитного поля имеет вид:

$$ A_\mu dx^\mu = -\frac{Q r}{\Sigma}(dt - a\sin^2\theta\,d\phi). $$

Из этого потенциала выводятся компоненты тензора электромагнитного поля F_μν, удовлетворяющего уравнениям Максвелла на фоне данной геометрии.

Структура горизонтов и особенности

В метрике Керра-Ньюмена особое значение имеет функция Δ, определяющая наличие горизонтов:

Δ = r² − 2Mr + a² + Q².

Корни уравнения Δ = 0 дают радиусы внешнего и внутреннего горизонтов:

$$ r_\pm = M \pm \sqrt{M^2 - a^2 - Q^2}. $$

Условия существования горизонта:

Если M² > a² + Q², то существуют два горизонта: внешний (событий) и внутренний (Коши).
Если M² = a² + Q², горизонты совпадают — предельный случай (экстремальный Керр-Ньюмен).
Если M² < a² + Q², решение описывает обнажённую сингулярность — нарушение космической цензуры.

Сингулярность и её структура

В отличие от случая Шварцшильда, сингулярность в решении Керра-Ньюмена не точечная, а кольцевая. Она определяется условием Σ = 0, что даёт:

$$ r = 0,\quad \theta = \frac{\pi}{2}. $$

Это — кольцо радиуса a в экваториальной плоскости. Вокруг этой сингулярности можно провести аналитическое продолжение метрики.

Эргосфера и эффект перетаскивания инерциальных систем

В решении Керра-Ньюмена существует область вне горизонта событий, где частицы не могут оставаться неподвижными относительно бесконечно удалённого наблюдателя. Эта область называется эргосферой, и она ограничена двумя поверхностями:

Внутренняя: горизонт событий r = r₊,
Внешняя: поверхность, где g_tt = 0:

$$ r_{\text{erg}}(\theta) = M + \sqrt{M^2 - a^2 \cos^2\theta - Q^2}. $$

В эргосфере возможен эффект Пенроуза: за счёт распада частицы можно извлечь энергию из вращающегося чёрного дыры.

Картеровские тензоры и переменные

В решении Керра-Ньюмена сохраняется разделимость уравнений Гамильтона–Якоби и Клейна–Гордона, благодаря существованию т.н. картеровского тензора — второго интеграла движения, помимо энергии и момента импульса. Это свидетельствует о скрытой симметрии пространства-времени и позволяет аналитически исследовать геодезические линии и волновые процессы.

Геодезические уравнения и движение частиц

Движение частиц и света в метрике Керра-Ньюмена определяется интегралами движения:

Энергия E,
Угловой момент L_z,
Картерова константа ????.

Уравнения движения можно получить из вариационного принципа, с использованием гамильтониана или уравнения Гамильтона–Якоби. Разделимость переменных возможна благодаря осесимметрии и стационарности метрики, а также благодаря скрытой симметрии (тензору Картерa).

Временные и пространственные симметрии

Решение Керра-Ньюмена стационарно (∂_t — киллинг-вектор времени) и осесимметрично (∂_ϕ — киллинг-вектор вращения). Эти симметрии связаны с сохранением энергии и углового момента. Пространственно оно не является сферически симметричным из-за наличия вращения.

Ограничения и особенности интерпретации

Решение Керра-Ньюмена, будучи вакуумным вне источника, не описывает реалистичное внутреннее строение вращающегося заряженного тела. Его интерпретация в качестве чёрной дыры применима только вне горизонта. Структура внутри горизонта отличается от аналогичной у Шварцшильда: там нет однозначной пространственно-временной каузальной структуры; возможны «мосты» в другие области многообразия.

Лимитирующие случаи

Метрика Керра-Ньюмена переходит в другие известные решения при специальных значениях параметров:

Q = 0 → решение Керра;
a = 0 → решение Рейсснера–Нордстрёма;
Q = 0, a = 0 → решение Шварцшильда.

Термодинамические параметры

Метрика Керра-Ньюмена удовлетворяет законам чёрнодырной термодинамики. Основные параметры:

Температура Хокинга:

$$ T_H = \frac{r_+ - r_-}{4\pi(r_+^2 + a^2)}, $$

Площадь горизонта:

A = 4π(r₊² + a²),

Энтропия:

$$ S = \frac{A}{4}. $$

Температура исчезает в экстремальном пределе M² = a² + Q², а площадь горизонта принимает минимальное значение.

Устойчивость и возмущения

Решение Керра-Ньюмена устойчиво при малых осцилляциях. Линейные возмущения гравитационного и электромагнитного поля могут быть разложены по сферическим гармоникам, и поведение таких возмущений описывается уравнением Тейкелинга.

Изучение устойчивости и колебательных мод играет ключевую роль в теории гравитационных волн и в астрофизических применениях, например, в анализе коллапсов звёзд и слияния чёрных дыр.

Физическое значение и приложения

Метрика Керра-Ньюмена играет фундаментальную роль в понимании природы гравитационного поля вращающихся и заряженных тел. Хотя реальные астрофизические чёрные дыры, по-видимому, незаряжены, это решение остаётся важным теоретическим инструментом:

При рассмотрении квантовых эффектов вблизи горизонта,
При анализе суперизлучения и эффектов квантовой информации,
В исследованиях по квантовой гравитации и теории струн,
В формализме ADS/CFT как решение, сохраняющее симметрии при наличии заряда и вращения.