Решение Райсснера-Нордстрёма

Метрика статического сферически симметричного заряженного источника

Решение Райсснера–Нордстрёма (РН) — точное решение уравнений Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля, описывающее гравитационное поле вне статически заряженного сферически симметричного тела. Это решение обобщает решение Шварцшильда, допуская наличие ненулевого электрического заряда.

Основным предположением при выводе является:

  • статичность и сферическая симметрия метрики;
  • отсутствие материальных источников вне центрального тела, кроме электромагнитного поля;
  • электростатическое поле как единственный источник тензора энергии-импульса.

Форма метрики

Пусть метрика имеет стандартную форму:

$$ ds^2 = -f(r)\, c^2 dt^2 + \frac{1}{f(r)}\, dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2), $$

где функция f(r) определяется из уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса электромагнитного поля.

Электромагнитное поле и тензор энергии-импульса

Электромагнитное поле описывается тензором Максвелла Fμν, удовлетворяющим уравнениям:

$$ \nabla_\mu F^{\mu\nu} = \frac{4\pi}{c} J^\nu,\quad \nabla_{[\lambda} F_{\mu\nu]} = 0. $$

Для статического, центрально-симметричного решения ненулевым компонентом поля является:

$$ F^{tr} = -F^{rt} = \frac{Q}{r^2}, $$

где Q — электрический заряд.

Тензор энергии-импульса для вакуумного электромагнитного поля имеет вид:

$$ T_{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi}\left(F_{\mu\alpha} F_{\nu}^{\ \alpha} - \frac{1}{4}g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\right). $$

Для сферически симметричного поля он диагонален и дает вклад в уравнения Эйнштейна, который зависит от Q2/r4.

Решение уравнений Эйнштейна

Уравнения Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля:

$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

при подстановке приведенной формы тензора Tμν приводят к следующему выражению для f(r):

$$ f(r) = 1 - \frac{2GM}{c^2 r} + \frac{G Q^2}{4\pi \varepsilon_0 c^4 r^2}. $$

В гауссовой системе единиц часто пишут проще:

$$ f(r) = 1 - \frac{2GM}{c^2 r} + \frac{G Q^2}{c^4 r^2}. $$

Таким образом, метрика Райсснера–Нордстрёма принимает вид:

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} + \frac{G Q^2}{c^4 r^2}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} + \frac{G Q^2}{c^4 r^2}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2. $$

Особенности геометрии и горизонты событий

Функция f(r) может иметь нули, определяющие горизонты событий. Решая уравнение:

$$ 1 - \frac{2GM}{c^2 r} + \frac{G Q^2}{c^4 r^2} = 0, $$

находим два радиуса:

$$ r_{\pm} = \frac{GM}{c^2} \pm \sqrt{\left(\frac{GM}{c^2}\right)^2 - \frac{G Q^2}{c^4}}. $$

Существует три случая:

  1. Q2 < GM2: два различных корня r+ и r−; внешний и внутренний горизонты событий.
  2. Q2 = GM2: экстремальный черный дыр; горизонты сливаются в один.
  3. Q2 > GM2: отсутствуют горизонты; возникает обнажённая сингулярность.

Это решение демонстрирует критическую важность заряда: при достаточном заряде черная дыра «раскрывается», что противоречит принципу космической цензуры.

Кривизна и сингулярность

Несмотря на наличие горизонтов, в r = 0 сохраняется физическая сингулярность: скалярная инварианта кривизны (например, инвариант Крейчмана) ведёт себя как:

$$ R_{\mu\nu\rho\sigma} R^{\mu\nu\rho\sigma} \sim \frac{1}{r^8}, $$

что указывает на истинную гравитационную сингулярность.

Поведение геодезических и структурная диаграмма Пенроуза

В отличие от решения Шварцшильда, где внутренняя область за горизонтом однозначно ведёт к сингулярности, решение РН допускает более сложную каузальную структуру. Геодезические линии могут пройти через внутренний горизонт и попасть в область, где r снова возрастает, ведущую к другой асимптотически плоской области.

Диаграмма Пенроуза для случая Q2 < GM2 показывает бесконечную цепочку вложенных пространственно-временных регионов, разделённых горизонтом.

Температура и термодинамика

Температура поверхности горизонта черной дыры определяется по формуле:

$$ T = \frac{\hbar c}{4\pi k_B} \left. \frac{df}{dr} \right|_{r=r_+}, $$

что даёт:

$$ T = \frac{\hbar c^3}{2\pi k_B G M} \left(1 - \frac{Q^2 G}{c^4 r_+^2} \right). $$

В экстремальном случае Q2 = GM2, температура стремится к нулю. Это важно в контексте квантовой испаряемости черных дыр по механизму Хокинга.

Квазилокальные массы и энергия поля

Наличие электрического поля приводит к энергии, распределённой вне тела. Энергия электромагнитного поля от r = r0 до r = ∞ равна:

$$ E_{\text{EM}} = \int_{r_0}^{\infty} \frac{Q^2}{8\pi r^4} \cdot 4\pi r^2 dr = \frac{Q^2}{2 r_0}. $$

Таким образом, для малых r0 вклад энергии поля становится значительным и даже дивергирует в пределе r0 → 0, что подчёркивает необходимость квантового подхода на малых масштабах.

Сравнение с другими решениями

  • Решение Шварцшильда: частный случай при Q = 0.
  • Решение Керра–Ньюмана: обобщение на случай вращающейся и заряженной черной дыры.
  • Решение Вейля и более общие: при отсутствии симметрии решений становится гораздо больше.

Физическая интерпретация и астрофизические замечания

Реальные астрофизические черные дыры, как предполагается, обладают ничтожным зарядом, так как плазма быстро нейтрализует любые крупные заряды. Однако решение Райсснера–Нордстрёма представляет собой важную теоретическую модель, позволяющую изучать:

  • влияние электромагнитных полей на структуру горизонтов,
  • термодинамику экстремальных черных дыр,
  • нарушение условий космической цензуры,
  • взаимодействие гравитации и электродинамики в рамках общей теории относительности.

Кроме того, это решение активно используется в различных обобщениях — от теорий с дополнительными измерениями до моделей черных дыр в анти-де-Ситтеровском пространстве, особенно в контексте AdS/CFT-соответствия.

Оглавление