Решение Шварцшильда

Метрика Шварцшильда: строгое решение вакуумных уравнений Эйнштейна

Пусть пространство-время вне сферически симметричного, статического и невращающегося источника материи описывается уравнениями Эйнштейна в вакууме:

Rμν = 0

Требуется найти метрический тензор gμν, удовлетворяющий этим уравнениям при предположении сферической симметрии, статичности и асимптотической плоскости.

Общая форма метрики

Сферически симметричное и статическое пространство-время допускает запись метрики в виде:

ds2 = −A(r) c2dt2 + B(r) dr2 + r2(dθ2 + sin2θ dϕ2)

где A(r) и B(r) — положительные функции радиуса r, подлежащие определению из уравнений Эйнштейна.

Расчёт кривизны: компоненты тензора Риччи

Подставляя общий вид метрики в уравнения Эйнштейна, вычислим компоненты тензора Риччи. Необходимые компоненты можно получить с помощью символов Кристоффеля, а затем подставить в выражения для Rμν. Вакуумное условие даёт три независимых уравнения:

  1. $R_{tt} = 0 \Rightarrow \frac{A''}{A} - \frac{1}{2} \frac{A'}{A} \frac{B'}{B} + \frac{1}{2} \left( \frac{A'}{A} \right)^2 + \frac{2}{r} \frac{A'}{A} = 0$

  2. $R_{rr} = 0 \Rightarrow -\frac{A''}{A} + \frac{1}{2} \frac{A'}{A} \frac{B'}{B} + \frac{2}{r} \frac{B'}{B} - \frac{1}{2} \left( \frac{A'}{A} \right)^2 = 0$

  3. $R_{\theta\theta} = 0 \Rightarrow 1 - \frac{1}{B} - \frac{r}{2B} \left( \frac{A'}{A} - \frac{B'}{B} \right) = 0$

Здесь штрихом обозначено производное по r: $A' = \frac{dA}{dr}$, и т.д.

Решение уравнений: форма функций A(r) и B(r)

Сначала рассмотрим третий компонент Rθθ = 0. Это уравнение сводится к:

$$ \frac{d}{dr} \left( r B^{-1} \right) = 1 $$

Интегрируя, получаем:

$$ B(r) = \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} $$

где интеграционная постоянная интерпретируется как масса M источника (через соответствие ньютоновскому пределу).

Подставляя это значение в уравнения, получаем аналогично:

$$ A(r) = 1 - \frac{2GM}{c^2 r} $$

Таким образом, окончательный вид метрики Шварцшильда:

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2) $$

Интерпретация и свойства

Сингулярности

Метрика имеет две особенности:

  • При r = 0: истинная гравитационная сингулярность, где кривизна стремится к бесконечности.
  • При $r = r_s = \frac{2GM}{c^2}$: координатная (нефизическая) сингулярность, называемая горизонтом событий.

Гравитационный радиус и чёрная дыра

Величина $r_s = \frac{2GM}{c^2}$ называется радиусом Шварцшильда. Для масс, сосредоточенных в пределах радиуса rs, внешнее поле описывается той же метрикой, но физический объект становится чёрной дырой, поскольку свет не может покинуть область r < rs.

Предельный переход к ньютоновской гравитации

Для больших расстояний r ≫ rs, выражение для компоненты gtt можно разложить в ряд:

$$ g_{tt} = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) \approx -\left(1 - \frac{2\phi(r)}{c^2} \right), \quad \phi(r) = -\frac{GM}{r} $$

что согласуется с ньютоновским потенциалом. Таким образом, метрика Шварцшильда корректно переходит в ньютоновскую теорию гравитации в слабом поле.

Орбиты и движение частиц

Используя симметрии метрики, можно записать лагранжиан для свободной частицы:

$$ \mathcal{L} = -\left(1 - \frac{r_s}{r} \right)c^2 \dot{t}^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r} \right)^{-1} \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 $$

и получить уравнения движения с помощью лагранжевой или гамильтоновой формализма. Они приводят, в частности, к эффектам:

  • Прецессия перигелия орбит (например, у Меркурия).
  • Гравитационное отклонение света.
  • Гравитационное красное смещение.

Световые лучи и гравитационные линзы

Для фотонов ds2 = 0, из метрики Шварцшильда можно вывести:

$$ \left( \frac{du}{d\phi} \right)^2 + u^2 = \frac{1}{b^2} - \frac{r_s u^3}{1} $$

где u = 1/r, b — импульсный параметр. Решение этого уравнения описывает отклонение света, которое превышает результат ньютоновской теории вдвое, что подтверждено экспериментально (например, в экспедиции Эддингтона в 1919 году).

Временные координаты и продолжение через горизонт

При r = rs компонент gtt → 0, а grr → ∞, что указывает на особенность координатного характера. Для устранения этого используется преобразование координат Крушкаля–Секереша:

$$ T = \left( \frac{r}{r_s} - 1 \right)^{1/2} e^{r/2r_s} \sinh\left( \frac{ct}{2r_s} \right), \quad X = \left( \frac{r}{r_s} - 1 \right)^{1/2} e^{r/2r_s} \cosh\left( \frac{ct}{2r_s} \right) $$

В этих координатах метрика становится регулярной при r = rs, что позволяет анализировать внутреннюю структуру чёрной дыры.

Особенности внутренней геометрии

Анализ геодезических уравнений показывает, что при попадании внутрь горизонта событий, направление времени и радиуса меняются местами: r становится временной координатой. Неизбежным следствием является достижение сингулярности при r = 0 за конечное собственное время.

Общая структура решений

Решение Шварцшильда — это:

  • максимально симметричное вакуумное решение ОТО с центральной симметрией;
  • единственное асимптотически плоское статическое решение без заряда и вращения (теорема Бунча–Искрелла–Робинсона);
  • фундаментальная модель чёрной дыры без заряда и момента импульса — т.н. чёрная дыра Шварцшильда.

Она служит базой для более сложных решений (Керра, Рейсснера–Нордстрёма и др.) и ключевым объектом в классической и квантовой теории гравитации.

Оглавление