Формулировка задачи: Рассчитать силу гравитационного притяжения между двумя телами массами m1 и m2, находящимися на расстоянии r друг от друга.
Метод решения: Используется закон всемирного тяготения Ньютона:
$$ F = G \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2} $$
где G = 6, 67430 ⋅ 10−11 м3/(кг ⋅ с2) — гравитационная постоянная.
Пример: m1 = 5, 97 ⋅ 1024 кг (масса Земли), m2 = 7, 35 ⋅ 1022 кг (масса Луны), r = 3, 84 ⋅ 108 м
Подставим значения:
$$ F = 6{,}67430 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 7{,}35 \cdot 10^{22}}{(3{,}84 \cdot 10^8)^2} \approx 1{,}98 \cdot 10^{20} \,\text{Н} $$
Формулировка задачи: Определить ускорение свободного падения g на поверхности планеты массой M и радиусом R.
Метод решения: Используем формулу:
$$ g = G \cdot \frac{M}{R^2} $$
Пример: M = 5, 97 ⋅ 1024 кг, R = 6, 371 ⋅ 106 м
$$ g = 6{,}67430 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{5{,}97 \cdot 10^{24}}{(6{,}371 \cdot 10^6)^2} \approx 9{,}81 \,\text{м/с}^2 $$
Формулировка задачи: Найти минимальную скорость, при которой тело может двигаться по круговой орбите на уровне поверхности планеты (первая космическая скорость).
Метод решения: Применим баланс центростремительного ускорения и гравитационного притяжения:
$$ \frac{v^2}{R} = \frac{GM}{R^2} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{GM}{R}} $$
Пример: M = 5, 97 ⋅ 1024 кг, R = 6, 371 ⋅ 106 м
$$ v = \sqrt{\frac{6{,}67430 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}}{6{,}371 \cdot 10^6}} \approx 7{,}91 \cdot 10^3 \,\text{м/с} $$
Формулировка задачи: Определить минимальную скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно покинуло гравитационное поле планеты (без учета сопротивления атмосферы).
Метод решения: Используется закон сохранения энергии:
$$ \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2GM}{R}} $$
Пример: Для Земли:
$$ v = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{GM}{R}} \approx 1{,}414 \cdot 7{,}91 \cdot 10^3 \approx 11{,}2 \cdot 10^3 \,\text{м/с} $$
Формулировка задачи: Найти период обращения спутника вокруг планеты на круговой орбите радиусом r.
Метод решения: Используем третий закон Кеплера в форме:
$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$
Пример: Найти период обращения Международной космической станции (МКС) на высоте h = 400 км: r = R + h = 6, 371 ⋅ 106 + 400 ⋅ 103 = 6, 771 ⋅ 106 м
$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{(6{,}771 \cdot 10^6)^3}{6{,}67430 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}}} \approx 5{,}56 \cdot 10^3 \,\text{с} \approx 92{,}6 \,\text{мин} $$
Формулировка задачи: Определить гравитационный потенциал φ на расстоянии r от центра массивного тела массой M.
Метод решения:
$$ \varphi = - \frac{GM}{r} $$
Пример: Для точки на поверхности Земли:
$$ \varphi = - \frac{6{,}67430 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}}{6{,}371 \cdot 10^6} \approx -6{,}25 \cdot 10^7 \,\text{Дж/кг} $$
Формулировка задачи: Рассчитать изменение потенциальной энергии тела массой m, перемещённого с расстояния r1 на r2 от центра планеты массой M.
Метод решения:
$$ \Delta U = U_2 - U_1 = -\frac{GMm}{r_2} + \frac{GMm}{r_1} $$
Пример: m = 100 кг, r1 = R = 6, 371 ⋅ 106 м, r2 = R + 400 ⋅ 103 = 6, 771 ⋅ 106 м
$$ \Delta U = -\frac{6{,}67430 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 100}{6{,}771 \cdot 10^6} + \frac{6{,}67430 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 100}{6{,}371 \cdot 10^6} $$
ΔU ≈ −5, 88 ⋅ 108 + 6, 25 ⋅ 108 ≈ 3, 7 ⋅ 107 Дж
Формулировка задачи: Оценить вклад релятивистской поправки в прецессию орбиты Меркурия.
Метод решения: Используется выражение:
$$ \Delta\varphi = \frac{6\pi GM}{a(1 - e^2)c^2} $$
где a — большая полуось орбиты, e — эксцентриситет, c — скорость света.
Пример: a = 5, 79 ⋅ 1010 м, e = 0, 206, M = 1, 989 ⋅ 1030 кг, c = 2, 998 ⋅ 108 м/с
Подставим:
$$ \Delta\varphi = \frac{6\pi \cdot 6{,}67430 \cdot 10^{-11} \cdot 1{,}989 \cdot 10^{30}}{5{,}79 \cdot 10^{10}(1 - 0{,}206^2)(2{,}998 \cdot 10^8)^2} \approx 5{,}0 \cdot 10^{-7} \,\text{рад/оборот} $$
За 100 лет (415 оборотов Меркурия):
Δφ ⋅ 415 ≈ 2, 07 ⋅ 10−4 рад ≈ 43″ (угловых секунд)
Формулировка задачи: Рассчитать полную энергию системы из двух тел массами m1 и m2, вращающихся на круговых орбитах вокруг общего центра масс.
Метод решения: Полная энергия:
$$ E = -\frac{G m_1 m_2}{2a} $$
где a — расстояние между центрами тел.
Пример: m1 = 5, 97 ⋅ 1024 кг, m2 = 7, 35 ⋅ 1022 кг, a = 3, 84 ⋅ 108 м
$$ E = -\frac{6{,}67430 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 7{,}35 \cdot 10^{22}}{2 \cdot 3{,}84 \cdot 10^8} \approx -3{,}95 \cdot 10^{28} \,\text{Дж} $$
Формулировка задачи: Найти время падения тела с высоты h вблизи поверхности планеты (при постоянном g).
Метод решения:
$$ h = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}} $$
Пример: h = 100 м, g = 9, 81 м/с2
$$ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{9{,}81}} \approx 4{,}52 \,\text{с} $$
Такой набор типовых задач охватывает фундаментальные аспекты гравитационной физики: от ньютоновской динамики до релятивистских эффектов. Каждое из приведённых решений может служить основой для численных расчётов, учебных практикумов и олимпиадных задач.