Цилиндрически симметричные решения в общей теории относительности
Цилиндрическая симметрия предполагает инвариантность пространства-времени относительно трансляций вдоль одной координаты (обычно z) и вращений вокруг оси z. Эти симметрии выражаются наличием двух коммутирующих Killing-векторов: один — осевой ∂φ, другой — трансляционный ∂z. Метрика не зависит от координат z и φ, но может зависеть от радиальной координаты r и времени t.
Общая форма цилиндрически симметричной метрики может быть записана как:
ds2 = −e2A(r, t)dt2 + e2B(r, t)dr2 + e2C(r, t)dz2 + e2D(r, t)dφ2
где A, B, C, D — функции от r и t, отражающие поведение гравитационного поля.
В случае стационарной метрики, все функции зависят только от r, и метрика упрощается:
ds2 = −e2A(r)dt2 + e2B(r)dr2 + e2C(r)dz2 + e2D(r)dφ2
При этом φ ∈ [0, 2π), z ∈ (−∞, ∞), и r ≥ 0.
В вакууме уравнения Эйнштейна принимают вид:
Rμν = 0
Классическое цилиндрически симметричное решение в вакууме — решение Леви-Чивиты, полученное в 1919 году. В координатах (t, r, z, φ) оно имеет вид:
ds2 = −r4σdt2 + r4σ(2σ − 1)(dr2 + dz2) + Cr2(1 − 2σ)dφ2
Параметр σ ∈ ℝ характеризует массу на единицу длины вдоль оси, а C — нормировочный множитель, связанный с возможным дефицитом угла. Это решение имеет сингулярность при r = 0, соответствующую бесконечной линейной массе.
Особые случаи:
Для анализа асимптотики важно поведение компоненты gφφ: если она не соответствует r2 при больших r, то пространство не является асимптотически плоским.
Реалистичной интерпретацией решения Леви-Чивиты является космическая струна — гипотетический дефект поля, возникший при фазовом переходе в ранней Вселенной. В случае идеализированной струны метрика принимает вид:
ds2 = −dt2 + dr2 + dz2 + (1 − Δ)2r2dφ2
где Δ ≪ 1 — дефицит угла, связанный с массой струны:
Δ = 8πGμ
Здесь μ — масса на единицу длины. Пространство при этом плоское всюду, кроме оси r = 0, где сосредоточен весь вклад в кривизну в виде дельта-функции.
Космическая струна не создаёт гравитационного поля в обычном смысле, но вызывает глобальный эффект — дефект угла, который влияет на геодезические и траектории частиц. В частности, луч света, проходящий мимо струны, испытывает гравитационное линзирование.
Цилиндрически симметричные решения могут описывать не только статические конфигурации, но и гравитационные волны. Классическим примером является метрика Вейля (или метрика Эйнштейна-Розена), описывающая распространение гравитационной волны вдоль цилиндрической симметрии:
ds2 = e2(γ − ψ)(−dt2 + dr2) + e2ψdz2 + r2e−2ψdφ2
где ψ(r, t) удовлетворяет волновому уравнению:
$$ \left( \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \right) \psi = 0 $$
а γ(r, t) определяется через ψ по интегральным формулам:
γr = r[(ψr)2 + (ψt)2], γt = 2rψrψt
Это решение описывает нелинейные гравитационные волны, распространяющиеся в осесимметричном пространстве. Такие волны могут переносить энергию, и их анализ требует аккуратного обращения с псевдотензором энергии-импульса гравитационного поля.
Особым примером цилиндрически симметричного решения, включающего электромагнитное поле, является метрика Мелвина (Melvin magnetic universe). Она описывает конфигурацию, в которой магнитное поле, направленное вдоль оси z, самогравитационно удерживается от рассеяния:
$$ ds^2 = \Lambda^2(-dt^2 + dz^2 + dr^2) + \frac{r^2}{\Lambda^2} d\varphi^2 $$
где:
$$ \Lambda = 1 + \frac{1}{4} B_0^2 r^2 $$
а B0 — напряжённость магнитного поля. Электромагнитный тензор имеет только компоненты Frφ = B0r/Λ2, соответствующие осесимметричному магнитному полю.
Метрика Мелвина — точное решение уравнений Эйнштейна–Максвелла. Она устойчива к небольшим возмущениям и не содержит сингулярностей. Это уникальный пример устойчивой конфигурации поля, уравновешенного собственной гравитацией.
Цилиндрически симметричные модели также изучаются в контексте гравитационного коллапса. Однако важным ограничением является теорема Бонди, которая утверждает, что в цилиндрической симметрии невозможна полная формация черной дыры с компактным горизонтом, аналогичным сферически симметричному случаю.
Тем не менее, в цилиндрически симметричном пространстве могут формироваться ловушки и аппроксимированные горизонты, если масса и энергия достаточно велики. Изучение таких конфигураций важно для понимания динамики гравитационных волн и нелинейных эффектов, особенно при численном моделировании.
Цилиндрически симметричные решения находят применение в нескольких ключевых направлениях:
Цилиндрическая симметрия служит идеальной лабораторией между сферически симметричными решениями и общими пространствами, сохраняя при этом часть аналитической управляемости, но позволяя описывать более сложные физические явления.