В гравитационной физике ключевое значение имеет выбор системы единиц, так как он определяет масштабирование физических величин, структуру уравнений и численные оценки фундаментальных констант. Существуют различные системы единиц, каждая из которых удобна в определённых контекстах: международная система единиц (СИ), планковская система, геометризированные единицы и др.
Система СИ принята в инженерной практике и большинстве прикладных задач. Однако в теоретической физике, особенно при работе с уравнениями Эйнштейна, более уместны системы, в которых фундаментальные константы принимают безразмерные или нормированные значения.
В СИ основные единицы:
Гравитационная постоянная G в СИ имеет размерность:
$$ [G] = \frac{\text{м}^3}{\text{кг} \cdot \text{с}^2} $$
и численно равна:
$$ G \approx 6{,}67430 \times 10^{-11}~\frac{\text{м}^3}{\text{кг} \cdot \text{с}^2} $$
Это чрезвычайно малая величина, что усложняет вычисления в астрономических и релятивистских масштабах.
В геометризированной системе единиц фундаментальные константы G и c (скорость света) принимаются равными единице:
G = c = 1
Такая нормировка значительно упрощает уравнения общей теории относительности (ОТО). В этой системе все величины выражаются через единицу длины (обычно сантиметр или километр), а время и масса переводятся в единицы длины с помощью:
$$ 1~\text{с} = c~\text{см}, \quad 1~\text{г} = \frac{G}{c^2}~\text{см} $$
Пример: масса Солнца M⊙ ≈ 1, 989 × 1033 г соответствует:
$$ M_{\odot} \approx \frac{G M_{\odot}}{c^2} \approx 1{,}4766~\text{км} $$
Таким образом, масса становится безразмерной геометрической величиной — радиусом, эквивалентным её гравитационному влиянию.
Планковская система строится на основе фундаментальных физических констант:
Планковские единицы:
Планковская длина:
$$ l_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \approx 1{,}616 \times 10^{-35}~\text{м} $$
Планковское время:
$$ t_P = \frac{l_P}{c} \approx 5{,}391 \times 10^{-44}~\text{с} $$
Планковская масса:
$$ m_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} \approx 2{,}176 \times 10^{-8}~\text{кг} $$
Планковская энергия:
EP = mPc2 ≈ 1, 956 × 109 Дж
Эти единицы дают естественные масштабы гравитационных и квантовых процессов. Особенно значимы они при анализе ранней Вселенной, чёрных дыр и квантовой гравитации.
| Величина | СИ | Геометризованные ед. | Планковские ед. |
|---|---|---|---|
| Длина L | м | см | lP |
| Время T | с | см | tP |
| Масса M | кг | см | mP |
| Энергия E | Дж = кг·м²/с² | см⁻¹ | EP |
| G | м³/(кг·с²) | 1 | lP2/mP2 |
| c | м/с | 1 | lP/tP |
Система СИ предпочтительна для лабораторных измерений, прикладной астрономии и публикаций с участием метрологических институтов. Она обеспечивает однозначную интерпретацию результатов, но требует громоздких коэффициентов в уравнениях.
Геометризированная система незаменима в ОТО, где масса, расстояние и время приобретают общую размерность и могут свободно преобразовываться друг в друга. Например, уравнение Шварцшильда принимает простой вид:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right) dt^2 + \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2 $$
Планковская система используется при теоретических оценках в квантовой гравитации и при анализе масштабов, где ОТО и квантовая механика пересекаются, как, например, в теории струн или петлевой квантовой гравитации.
Переход между системами единиц требует пересчёта размерностей с использованием соответствующих фундаментальных констант. Например, чтобы перевести массу из килограммов в геометризированные единицы, применяют:
$$ M~[\text{см}] = \frac{G M~[\text{кг}]}{c^2} $$
а обратно:
$$ M~[\text{кг}] = \frac{c^2}{G} \cdot M~[\text{см}] $$
Подобным образом переводятся и другие величины. Важно тщательно следить за размерностями, особенно при вычислениях с участием нескольких типов величин.
Гравитационный радиус (или радиус Шварцшильда) тела массы M в геометризированной системе выражается просто:
rg = 2M
В СИ:
$$ r_g = \frac{2GM}{c^2} $$
Этот пример иллюстрирует, насколько упрощаются выражения в геометризированной системе — без потери физической информативности, но с выигрышем в компактности формул.
В численном моделировании, особенно при симуляции эволюции звёзд, столкновений чёрных дыр или расширения Вселенной, часто применяются кодовые единицы, в которых значения G = 1, M = 1, R = 1, или аналогичные нормировки. Эти единицы упрощают вычислительные схемы и уменьшают масштаб численных ошибок.
Однако для сопоставления с наблюдениями все результаты необходимо переводить обратно в СИ или другие физически интерпретируемые системы.
Выбор системы единиц влияет не только на представление физических величин, но и на формулировку самих физических законов. В гравитационной физике размерностные анализы позволяют:
Например, в подходах к квантовой гравитации рассматриваются безразмерные константы, такие как постоянная тонкой структуры гравитации:
$$ \alpha_G = \frac{G m_p^2}{\hbar c} \approx 5{,}9 \times 10^{-39} $$
которая показывает слабость гравитационного взаимодействия между двумя протонами по сравнению с электромагнитным.
Ни одна система единиц не является универсальной. Выбор системы зависит от контекста:
Понимание связей между системами и умений переводить между ними является фундаментальным навыком в гравитационной физике.