Скалярно-тензорные теории представляют собой расширение общей теории относительности, в котором гравитационное взаимодействие описывается не только метрикой gμν, но и дополнительным скалярным полем ϕ. Эти теории естественно возникают в контексте попыток квантования гравитации, теорий великого объединения, теории струн, а также при рассмотрении космологических моделей с динамической постоянной гравитации или тёмной энергией.
Математически скалярно-тензорная теория задаётся лагранжианом, в котором скалярное поле ϕ взаимодействует с тензором метрики, а его динамика может быть как минимально, так и неминимально связана с кривизной пространства-времени. Одной из наиболее известных моделей этого класса является теория Бранса–Дикке.
Общее действие скалярно-тензорной теории в 4-мерном пространстве-времени имеет вид:
$$ S = \frac{1}{16\pi} \int d^4x \sqrt{-g} \left[ \phi R - \frac{\omega(\phi)}{\phi} g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \, \partial_\nu \phi - 2V(\phi) \right] + S_m[\Psi, g_{\mu\nu}] $$
где:
При ω(ϕ) = const, V(ϕ) = 0 и ϕ = 1/G, данное действие переходит в теорию Бранса–Дикке.
Из действия выводятся уравнения движения для метрики и скалярного поля. Варьируя по gμν и ϕ, получаем:
$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi}{\phi} T_{\mu\nu} + \frac{\omega(\phi)}{\phi^2} \left( \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \partial_\lambda \phi \partial^\lambda \phi \right) + \frac{1}{\phi} \left( \nabla_\mu \nabla_\nu \phi - g_{\mu\nu} \Box \phi \right) - \frac{V(\phi)}{2\phi} g_{\mu\nu} $$
$$ \Box \phi = \frac{1}{2\omega + 3} \left( 8\pi T - \frac{d\omega}{d\phi} \partial_\lambda \phi \partial^\lambda \phi + 2\phi \frac{dV}{d\phi} - 4V \right) $$
где T = T μμ — след тензора энергии-импульса.
Скалярно-тензорные теории можно описывать в различных метриках, называемых фреймами:
Переход между фреймами осуществляется через конформное преобразование и каноническую нормировку скалярного поля:
$$ \tilde{g}_{\mu\nu} = A^2(\phi) g_{\mu\nu}, \quad \left( \frac{d\varphi}{d\phi} \right)^2 = \frac{3}{4} \left( \frac{d\ln A}{d\phi} \right)^2 + \frac{\omega(\phi)}{2\phi^2} $$
где φ — канонически нормализованное поле в фрейме Эйнштейна.
Исторически важный частный случай скалярно-тензорных теорий — теория Бранса–Дикке, предложенная в 1961 году как альтернатива ОТО с переменной гравитационной «постоянной» G = 1/ϕ:
$$ S = \frac{1}{16\pi} \int d^4x \sqrt{-g} \left[ \phi R - \frac{\omega}{\phi} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi \right] + S_m $$
Здесь ω — постоянный параметр, характеризующий отклонение от общей теории относительности. При ω → ∞, теория стремится к ОТО. Современные наблюдения (в частности, ограничения от миссии Cassini) требуют, чтобы ω ≳ 4 × 104, что делает отклонения от ОТО крайне слабыми.
Скалярно-тензорные теории находят широкое применение в космологии:
Скалярно-тензорные теории допускают решения, отличные от ОТО, в том числе:
Скалярно-тензорные теории должны соответствовать строгим экспериментальным проверкам:
$$ \gamma = \frac{1 + \omega}{2 + \omega} $$
что позволяет по наблюдаемому значению γ накладывать ограничения на ω.
Космологические ограничения — данные по CMB, крупномасштабной структуре и скорости расширения Вселенной накладывают ограничения на эволюцию ϕ и её вклад в плотность энергии.
Гравитационные волны — в скалярно-тензорных теориях возможны дополнительные степени свободы в виде скалярных волн, которые могут проявляться в сигнале от слияния компактных объектов.
Скалярно-тензорные теории остаются активной областью теоретической и феноменологической работы. Среди современных направлений:
Скалярно-тензорные теории продолжают играть важную роль в изучении фундаментальной природы гравитации, предлагая богатую феноменологию и альтернативные сценарии космологической и астрофизической динамики.