Слабопольное приближение

В рамках общей теории относительности слабопольное или линейное приближение представляет собой разложение метрики вокруг плоского фона Минковского пространства. Данное приближение позволяет анализировать слабые гравитационные поля, возникающие, например, в Солнечной системе или при распространении гравитационных волн, когда отклонения от плоской метрики малы и допускается линеаризация уравнений Эйнштейна.

Разложение метрики

В слабопольном приближении предполагается, что метрика существенно не отличается от метрики плоского пространства:

g_μν = η_μν + h_μν,  |h_μν| ≪ 1,

где:

• η_μν — метрика Минковского: diag(−1, 1, 1, 1),
• h_μν — малая возмущающая поправка.

При этом компоненты тензора h_μν трактуются как гравитационный потенциал в релятивистском контексте.

Поднятие и опускание индексов осуществляется с использованием метрики η_μν, поскольку h_μν считаются малыми величинами и не вносят значимых поправок к операциям с индексами на первом порядке малости.

Линеаризованные связности

Христоффелевы символы в линейном приближении выражаются как:

$$ \Gamma^{\rho}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \eta^{\rho\sigma} \left( \partial_\mu h_{\nu\sigma} + \partial_\nu h_{\mu\sigma} - \partial_\sigma h_{\mu\nu} \right), $$

что уже линейно по h_μν, так как η^ρσ постоянна и производные берутся по координатам Минковского пространства.

Кривизна в линейном приближении

Кривизна Римана, Риччи и скалярная кривизна вычисляются по линейным формулам. Тензор Риччи в линейном приближении:

$$ R_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \left( \partial^\lambda \partial_\mu h_{\lambda\nu} + \partial^\lambda \partial_\nu h_{\lambda\mu} - \Box h_{\mu\nu} - \partial_\mu \partial_\nu h \right), $$

где h = η^μνh_μν — след возмущения метрики, а □ = η^μν∂_μ∂_ν — волновой оператор в плоском пространстве.

Скаляр кривизны:

R = ∂^μ∂^νh_μν − □h.

Тензор Эйнштейна тогда принимает форму:

$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} R. $$

Линеаризованные уравнения Эйнштейна

Подставляя всё в уравнение Эйнштейна:

$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

получаем уравнения в линейном приближении. Для удобства вводится откалиброванная величина:

$$ \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h, $$

которая упрощает выражение тензора Эйнштейна. Тогда в калибровке Лоренца:

∂^μh̄_μν = 0,

уравнения Эйнштейна принимают вид волнового уравнения:

$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$

Это уравнение описывает распространение гравитационных возмущений в плоском пространстве, возбуждаемых тензором энергии-импульса материи.

Гравитационные волны

В вакууме, где T_μν = 0, линеаризованные уравнения приводят к:

□h̄_μν = 0,

что указывает на свободное распространение гравитационных возмущений. Решения этого уравнения представляют собой гравитационные волны — релятивистские аналоги электромагнитных волн, распространяющиеся со скоростью света.

В калибровке Лоренца можно дополнительно перейти к трансверсально-трасссированной (TT) калибровке, в которой остаются только физические степени свободы: два поперечных тензорных поля, соответствующие двум поляризациям гравитационной волны.

Ньютоновский предел

Для восстановления ньютоновского гравитационного закона из уравнений Эйнштейна необходимо рассмотреть предел медленно движущихся источников и слабых полей. В этом случае:

• h₀₀ ≈ −2ϕ/c², где ϕ — ньютоновский гравитационный потенциал,
• h_0i, h_ij ≪ h₀₀.

Подставляя это в линейное приближение, получаем:

$$ \Box \bar{h}_{00} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{00}. $$

В пределе низких скоростей T₀₀ ≈ ρc², где ρ — массовая плотность, и уравнение принимает вид:

∇²ϕ = 4πGρ,

что соответствует классическому уравнению Пуассона ньютоновской гравитации.

Интерпретация гравитации как спина-2

Слабопольное приближение позволяет интерпретировать гравитацию как поле со спином 2, распространяющееся в плоском пространстве. Это видно из структуры уравнений: волновое уравнение для тензора h̄_μν имеет ту же форму, что и для безмассового поля спина 2. Это приводит к глубоким теоретическим следствиям:

• невозможно сконструировать гравитацию как взаимодействие скалярного или векторного поля, сохраняющее общую ковариантность,
• универсальность гравитационного взаимодействия вытекает из структуры тензора энергии-импульса как универсального источника.

Каллибровочные преобразования

Линеаризованные уравнения Эйнштейна допускают калибровочные преобразования, аналогичные преобразованиям Лоренца в электродинамике. Пусть ξ^μ(x) — произвольное бесконечно малое векторное поле. Тогда преобразование:

h_μν → h′_μν = h_μν − ∂_μξ_ν − ∂_νξ_μ,

не изменяет кривизну первого порядка. Это позволяет накладывать калибровочные условия, устраняющие нефизические компоненты поля.

Энергия гравитационного поля

В линейной теории возникает возможность определить плотность энергии гравитационного поля, что невозможно сделать точно в полной ОТО из-за общей ковариантности. В слабопольном приближении можно ввести т.н. псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля, зависящий от выбора системы координат. Однако в релятивистски-ковариантной формулировке роль энергии гравитационного поля описывается интегральными характеристиками, как, например, излучение гравитационных волн, вычисляемое через формулу Квазара и Питерса-Маттевса.

Сфера применения слабопольного приближения

Слабопольное приближение успешно применяется в следующих областях:

• теория гравитационного излучения и взаимодействие гравитационных волн с детекторами,
• постньютоновские приближения для систем, где скорости малы, но требуется высокая точность (двойные пульсары, прецессия орбит),
• вычисление гравитационного линзирования света,
• описание эффекта Шапиро и замедления времени вблизи массивных тел.

Таким образом, слабопольное приближение играет фундаментальную роль в прикладной и теоретической гравитационной физике, позволяя проводить вычисления, недоступные в рамках полной нелинейной ОТО.