Связь между материей и кривизной пространства-времени

Основной постулат общей теории относительности утверждает, что гравитация — это не сила в классическом понимании, а проявление геометрии пространства-времени. Это означает, что наличие материи и энергии определяет геометрические свойства пространства-времени, в частности его кривизну, которая, в свою очередь, диктует поведение тел и излучения. Центральным математическим выражением этой идеи служат уравнения Эйнштейна гравитационного поля, устанавливающие количественную взаимосвязь между материей и геометрией.

Уравнение Эйнштейна: математическая формулировка

Общая форма уравнений Эйнштейна:

$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$

Здесь:

G_μν — тензор Эйнштейна, характеризующий кривизну пространства-времени,
T_μν — энергомоментный тензор, описывающий плотности энергии, импульса и потоков,
G — гравитационная постоянная Ньютона,
c — скорость света в вакууме.

Таким образом, левая часть уравнения выражает геометрию, а правая — физическое содержание материи и энергии. Это уравнение указывает, что распределение и движение материи определяют геометрию пространства-времени, которая в свою очередь влияет на движение материи.

Геометрическая сторона: тензор Эйнштейна

Тензор Эйнштейна определяется как:

$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} $$

где:

R_μν — тензор Риччи, представляющий след тензора кривизны Римана,
R — скалярная кривизна, след тензора Риччи,
g_μν — метрический тензор, определяющий геометрию пространства-времени.

Тензор Эйнштейна обладает свойством симметрии G_μν = G_νμ, как и T_μν, и удовлетворяет тождественной дивергентности:

∇^μG_μν = 0

что обеспечивает совместимость с законом сохранения энергии и импульса, выражаемым как:

∇^μT_μν = 0

Это ключевое условие отражает глубокую связь между локальной инвариантностью уравнений Эйнштейна и фундаментальными законами физики.

Физическая сторона: тензор энергии-импульса

Тензор T_μν представляет распределение материи и энергии. Его конкретная форма зависит от типа вещества:

Для идеальной жидкости:

T_μν = (ρ + p)u_μu_ν − pg_μν

где ρ — плотность энергии, p — давление, u_μ — 4-скорость потока вещества.

Для электромагнитного поля:

$$ T^{\mu\nu}_{\text{(EM)}} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\alpha} F^\nu_{~\alpha} - \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \right) $$

Здесь F_μν — тензор электромагнитного поля.

Таким образом, уравнения Эйнштейна применимы ко всем формам материи и полей, обладающих энергией и импульсом, и позволяют исследовать влияние этих форм на геометрию пространства-времени.

Космологический член

Альберт Эйнштейн ввёл в уравнение дополнительный член — космологическую постоянную Λ:

$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$

Этот член представляет однородную энергию вакуума, обладающую антигравитационным эффектом. Сегодня космологическая постоянная играет центральную роль в космологии, интерпретируясь как энергия темной энергии, ускоряющей расширение Вселенной.

Локальность и причинность

Уравнения Эйнштейна являются локальными: они выражают связь между кривизной и материей в каждой точке пространства-времени. Это отражает принцип локального взаимодействия — геометрическая структура в данной точке определяется состоянием материи непосредственно в этой точке, а не на расстоянии.

С другой стороны, они сохраняют причинную структуру через световые конусы, встроенные в метрику g_μν. Таким образом, влияние материи на геометрию распространяется не мгновенно, а с предельной скоростью — скоростью света.

Классический предел: соответствие с теорией Ньютона

В слабом поле и при низких скоростях уравнения Эйнштейна переходят в уравнение Пуассона классической теории гравитации:

∇²ϕ = 4πGρ

Это обеспечивается приближением:

Метрика близка к плоской: g_μν = η_μν + h_μν, |h_μν| ≪ 1
Медленные движения: v ≪ c
Слабая гравитация: ϕ/c² ≪ 1

Таким образом, уравнения Эйнштейна включают в себя ньютоновскую гравитацию как предельный случай, что является проявлением принципа соответствия.

Нелинейность и самодействие гравитации

Уравнения Эйнштейна являются нелинейными по метрике g_μν, что отражает самодействие гравитационного поля. В отличие от линейной теории, как, например, уравнения Максвелла для электромагнетизма, здесь гравитационное поле само создаёт кривизну и, следовательно, может выступать источником гравитации. Это приводит к ряду сложных и нетривиальных эффектов:

Существование черных дыр как самоподдерживающихся объектов кривизны.
Нелокализуемость гравитационной энергии — невозможность определить плотность гравитационной энергии в общем случае.
Отсутствие тензорной величины энергии гравитационного поля — вместо этого используются псевдотензоры.

Взаимосвязь с другими уравнениями физики

Уравнения Эйнштейна представляют собой геометрическую оболочку для других уравнений физики, действующих в искривленном пространстве-времени:

Уравнения движения материи и излучения (геодезические уравнения).
Уравнения Максвелла в криволинейной метрике.
Уравнения гидродинамики и кинетики.

Таким образом, вся физика, включая классическую, квантовую и статистическую, подчиняется структуре пространства-времени, определяемой уравнениями Эйнштейна.

Энергетическая интерпретация: гравитация как поток энергии

Хотя гравитационное поле не обладает локализованной плотностью энергии, можно интерпретировать уравнения Эйнштейна как уравнения баланса энергии и импульса: изменение геометрии (через G_μν) — это реакция на присутствие и поток энергии и импульса (через T_μν). Таким образом, материя «говорит» пространству-времени, как изгибаться, а пространство-время «говорит» материи, как двигаться.

Эта концептуальная формула, приписываемая Джону Уиллеру, лаконично выражает суть:

Пространство-время говорит материи, как двигаться. Материя говорит пространству-времени, как искривляться.

Последствия для космологии и астрофизики

Уравнения Эйнштейна лежат в основе описания:

Расширяющейся Вселенной (модели Фридмана),
Космологического реликтового излучения,
Формирования и структуры черных дыр,
Гравитационных волн,
Эффектов замедления времени и искривления света вблизи массивных тел.

Именно связь между кривизной и материей позволяет предсказывать столь разнообразные и экспериментально подтверждённые явления.