Тензор энергии-импульса

Общее определение и физический смысл

Тензор энергии-импульса (или тензор импульсно-энергетический, часто обозначается как T_μν) является фундаментальным объектом в общей теории относительности, отражающим распределение и поток энергии и импульса в пространстве-времени. Он описывает не только плотность энергии и импульса, но и потоки этих величин между различными направлениями координатного пространства.

В отличие от классической механики и даже специальной теории относительности, где энергия и импульс могут рассматриваться как векторы, в общей теории относительности, из-за кривизны пространства-времени, необходимо использовать тензор второго ранга. Этот тензор служит источником гравитационного поля в уравнениях Эйнштейна:

$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$

Здесь G_μν — тензор Эйнштейна, G — гравитационная постоянная, c — скорость света. Таким образом, кривизна пространства-времени напрямую определяется распределением энергии и импульса, заданным через T_μν.

Структура и компоненты тензора

Тензор T_μν — симметричный тензор второго ранга, обладающий 10 независимыми компонентами в четырёхмерном пространстве-времени. Физический смысл отдельных компонент следующий:

T₀₀: плотность энергии;
T_0i и T_i0: плотности потока энергии (или импульса) в пространственных направлениях;
T_ij: поток импульса в пространстве, т.е. тензор напряжений (давления и сдвига).

Для плоского пространства и в системе отсчёта, связанной с веществом (локально инерциальная система), компоненты тензора принимают простые формы, зависящие от природы рассматриваемой материи.

Тензор энергии-импульса идеальной жидкости

Один из важнейших и наиболее часто используемых случаев — идеальная (несжимаемая, без вязкости и теплопроводности) жидкость. В этом случае тензор имеет форму:

T^μν = (ρ + p)u^μu^ν + pg^μν

Здесь:

ρ — плотность энергии в системе покоя жидкости,
p — давление,
u^μ — четырёхскорость жидкости,
g^μν — метрический тензор.

Такое представление позволяет описывать как покоящуюся материю, так и движение с релятивистскими скоростями. В пределе низких скоростей и слабых полей оно сводится к привычной гидродинамике.

Свойства тензора энергии-импульса

Симметрия: Тензор симметричен:

T_μν = T_νμ

Это отражает сохранение момента импульса системы.
Закон сохранения: Наиболее фундаментальным является локальный закон сохранения энергии и импульса, выражаемый в виде ковариантной дивергенции:

∇^μT_μν = 0

Это тождество следует из уравнений Эйнштейна и бианкиевых тождеств, и отражает тот факт, что энергия и импульс не могут быть уничтожены или созданы в изолированной системе.
Ковариантность: T_μν преобразуется как тензор второго ранга при произвольных гладких координатных преобразованиях, что делает его пригодным для использования в произвольно кривом пространстве-времени.

Примеры конкретных тензоров энергии-импульса

Пыль (dust): Пыль — это идеализированная модель вещества без давления. В этом случае p = 0, и тензор упрощается:

T^μν = ρu^μu^ν

Это особенно важно для космологических моделей, где материя на больших масштабах рассматривается как “космическая пыль”.
Электромагнитное поле: Тензор энергии-импульса электромагнитного поля выражается через тензор электромагнитного поля F_μν:

$$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\alpha} F^\nu_{\ \alpha} - \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} \right) $$

Он учитывает как энергию электрических и магнитных полей, так и давление и напряжения, создаваемые ими.
Скалярное поле: Для скалярного поля ϕ с лагранжианом

$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - V(\phi) $$

тензор энергии-импульса имеет вид:

$$ T_{\mu\nu} = \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - g_{\mu\nu} \left( \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} \partial_\alpha \phi \partial_\beta \phi + V(\phi) \right) $$

Такие тензоры играют важную роль в космологии, в частности, в инфляционной модели Вселенной.

Роль тензора энергии-импульса в уравнениях Эйнштейна

Тензор энергии-импульса является источником кривизны в уравнениях Эйнштейна. Он связывает материю и геометрию:

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$

Эти уравнения показывают, как энергия, давление, импульс и напряжения, заключённые в T_μν, определяют метрику g_μν, а значит и геометрию пространства-времени.

Энергетные условия

Для физически реалистичных материй на T_μν обычно накладываются энергетные условия. Они определяют допустимые свойства материи, и в частности:

Слабое энергетное условие (WEC):

T_μνu^μu^ν ≥ 0

для любого тимоподобного вектора u^μ, что означает неотрицательную плотность энергии для любого наблюдателя.
Доминирующее энергетное условие (DEC): Поток энергии не может распространяться быстрее света.
Сильное энергетное условие (SEC): Отражает гравитационно-аттрактивную природу материи:

$$ \left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2} T g_{\mu\nu}\right) u^\mu u^\nu \geq 0 $$

Эти условия важны при формулировке теорем сингулярности и устойчивости решений ОТО.

Взаимодействие с другими теориями

Тензор энергии-импульса не является уникальным для общей теории относительности. Он входит в лагранжевый формализм многих теорий поля. Например, в квантовой теории поля его операторный аналог определяет плотность энергии вакуума, касающуюся эффекта Казимира, вакуумной поляризации и т.д.

Кроме того, вариация действия по метрике даёт:

$$ \delta S = \frac{1}{2} \int T^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} \sqrt{-g} \, d^4x $$

Это фундаментальная формула, определяющая T^μν как производную лагранжиана материи по метрике.

Квазилокальные и глобальные аспекты

Несмотря на то, что тензор энергии-импульса обладает чёткой локальной трактовкой, в общей теории относительности отсутствует строгая возможность ввести понятие плотности энергии гравитационного поля. Гравитация — геометрический эффект, и её энергия не может быть описана тензором, определённым локально.

Для этого используются квазилокальные величины, например, тензор псевдоэнергии Ландау-Лифшица, тензоры Белла-Робинсона и другие конструкции, позволяющие описывать потоки энергии гравитации в асимптотически плоских пространствах, например, в теории гравитационного излучения.

Заключительные замечания по структуре и применению

Тензор энергии-импульса — это фундаментальное звено между физической материей и геометрией пространства-времени. Его свойства определяют как локальную, так и глобальную структуру гравитационного поля, поведение космологических моделей, а также динамику взаимодействующих полей и частиц в кривом пространстве.

Его универсальность, строгость и физическая насыщенность делают его центральным объектом любой гравитационной теории, как классической, так и квантовой.