Тензор Эйнштейна

Определение и построение тензора Эйнштейна

Тензор Эйнштейна G_μν играет центральную роль в общей теории относительности, поскольку именно он входит в основное уравнение Эйнштейна, связывающее геометрию пространства-времени с его материей и энергией. Этот тензор определяется как особая комбинация тензора Риччи и скалярной кривизны, при этом он удовлетворяет важному условию — тождественной ковариантной сохранности.

Формально тензор Эйнштейна задаётся следующим образом:

$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} $$

где:

R_μν — тензор Риччи,
R — скалярная кривизна, получаемая контракцией R = g^μνR_μν,
g_μν — метрический тензор.

Эта комбинация не случайна: она построена таким образом, чтобы тензор G_μν имел нулевую ковариантную дивергенцию, то есть

∇^μG_μν = 0

что гарантирует согласованность с законом сохранения энергии-импульса материи, описываемой тензором энергии-импульса T_μν.

Геометрический смысл тензора Эйнштейна

Тензор Эйнштейна является обобщением трёхмерного скалярного описания кривизны на случай четырёхмерного пространства-времени. Он содержит информацию как о локальной кривизне, так и о её распределении вблизи данной точки.

Первый член в его определении, R_μν, содержит сведения о сжимающей или растягивающей кривизне вдоль различных направлений, тогда как второй член, $\frac{1}{2} R g_{\mu\nu}$, выполняет роль корректирующего, обеспечивающего энергетическую интерпретацию.

Физически тензор Эйнштейна отвечает за связь между распределением материи и геометрией пространства-времени. Если в данном регионе пространства отсутствует материя, то G_μν = 0, и, следовательно, геометрия описывается вакуумным решением уравнений Эйнштейна.

Свойства тензора Эйнштейна

Симметричность:

G_μν = G_νμ

Это отражает тот факт, что тензор энергии-импульса также симметричен, что требуется из закона сохранения момента импульса.
Ковариантная дивергенция равна нулю:

∇^μG_μν = 0

Это тождество Бьянки, вытекающее из геометрических свойств тензора Римана и метрической связи.
Контракция с метрическим тензором:

g^μνG_μν = −R

Таким образом, скалярная кривизна может быть извлечена напрямую из тензора Эйнштейна.
Вакуумное условие:

G_μν = 0 ⇒ R_μν = 0

Это эквивалентно уравнениям Эйнштейна в пустоте, в которых отсутствует тензор энергии-импульса.

Уравнение Эйнштейна

На основе построенного тензора Эйнштейна формулируется основное уравнение гравитационного поля:

G_μν = κT_μν

где:

T_μν — тензор энергии-импульса материи и полей,
$\kappa = \frac{8\pi G}{c^4}$ — гравитационная константа в системе СИ.

Это уравнение описывает, как материя и энергия «говорят» пространству-времени, как ему искривляться, и как искривлённое пространство-время влияет на движение материи.

В более общем случае, с учётом космологической постоянной Λ, уравнение приобретает форму:

G_μν + Λg_μν = κT_μν

где член Λg_μν интерпретируется как плотность энергии вакуума или как тёмная энергия.

Происхождение тензора Эйнштейна: вариационный вывод

Тензор Эйнштейна можно получить не только из геометрических соображений, но и из принципа наименьшего действия. Гравитационное действие Эйнштейна — Гильберта имеет вид:

$$ S = \frac{1}{2\kappa} \int R \sqrt{-g} \, d^4x + S_\text{matter} $$

Вариация этого действия по метрическому тензору даёт:

$$ \delta S = \frac{1}{2\kappa} \int \left( R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} \right) \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g} \, d^4x + \delta S_\text{matter} $$

Из условия δS = 0 следует уравнение:

G_μν = κT_μν

Таким образом, тензор Эйнштейна — это вариационная производная от гравитационного действия по метрическому тензору.

Интерпретация отдельных компонент тензора Эйнштейна

В локальной системе отсчёта можно проанализировать физический смысл компонентов G_μν. Например:

G₀₀ связан с плотностью энергии,
G_0i (где i = 1, 2, 3) — с плотностью потока энергии,
G_ij — с напряжениями и потоками импульса в пространстве.

Такой анализ показывает, что тензор Эйнштейна можно интерпретировать как геометрический аналог тензора энергии-импульса, описывающего гравитационное «влияние» материи.

Примеры применения тензора Эйнштейна

Сферически-симметричное решение (решение Шварцшильда): При T_μν = 0 (вакуум), решение G_μν = 0 приводит к метрике Шварцшильда — внешнему полю сферически-симметричного тела.
Космологические модели Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера: В условиях однородности и изотропности решение уравнений Эйнштейна с T_μν в виде идеальной жидкости приводит к уравнениям Фридмана, описывающим эволюцию Вселенной.
Гравитационные волны: В линейном приближении, когда g_μν = η_μν + h_μν с малыми возмущениями h_μν, тензор Эйнштейна используется для вывода волнового уравнения для гравитационных возмущений.

Связь с другими тензорами кривизны

Тензор Эйнштейна не содержит полную информацию о кривизне пространства-времени. Он — лишь частичная проекция тензора Римана. В частности, тензор Вейля C_μνρσ, представляющий собой конформно-инвариантную часть тензора Римана, не входит в определение G_μν, но может быть ненулевым даже при G_μν = 0, например, в решении Шварцшильда.

Обобщения тензора Эйнштейна

Модифицированные теории гравитации: В теориях типа f(R)-гравитации тензор Эйнштейна заменяется более сложным выражением, содержащим дополнительные производные и функции от R.
Теория Эйнштейна–Картана: При включении спина и торсии в пространство-время обобщённый тензор Эйнштейна включает асимметричные члены, зависящие от тензора торсии.
Теории на многообразиях с размерностью выше четырёх: Тензор Эйнштейна можно обобщить на размерности D > 4, что играет важную роль в теориях типа Kaluza–Klein и в теории струн.

Роль в общей теории относительности

Тензор Эйнштейна — это математическая реализация идеи Эйнштейна о том, что гравитация — не сила, а проявление геометрии пространства-времени. Его центральная роль в уравнениях поля делает его фундаментальным объектом любой гравитационной теории, основанной на принципах эквивалентности и ковариантности.