Тензор кривизны Римана

Геометрическая мотивация

Понятие кривизны возникает в теории гравитации как количественная мера отклонения геометрии пространства-времени от плоской, евклидовой структуры. В контексте общей теории относительности, гравитация представляется как проявление кривизны многообразия, индуцированной распределением материи и энергии. Формальной математической реализацией этой кривизны служит тензор Римана, играющий центральную роль в тензорном анализе на псевдоримановом многообразии.

Определение через ковариантную производную

Пусть M — гладкое многообразие с псевдоримановой метрикой g_μν, связанной с симметричной аффинной связностью ∇, определяемой коэффициентами Христоффеля Γ_μν^λ. Тензор кривизны Римана R _σμν^ρ вводится через коммутатор ковариантных производных:

[∇_μ, ∇_ν]V^ρ = R _σμν^ρV^σ

Этот тензор выражает несогласованность параллельного переноса вектора вдоль замкнутого контура: результат переноса зависит от пути, если пространство искривлено.

Выражение через коэффициенты связности

При заданной связности коэффициенты Γ_μν^λ определяют тензор кривизны следующим образом:

R _σμν^ρ = ∂_μΓ_νσ^ρ − ∂_νΓ_μσ^ρ + Γ_μλ^ρΓ_νσ^λ − Γ_νλ^ρΓ_μσ^λ

Эта формула наглядно демонстрирует, что даже при наличии гладкой метрики, производные коэффициентов Христоффеля могут порождать ненулевую кривизну.

Свойства тензора Римана

Тензор кривизны обладает рядом фундаментальных симметрий:

1. Антисимметрия по последним двум индексам:

R _σμν^ρ = −R _σνμ^ρ

2. Антисимметрия по первым двум индексам при опускании верхнего индекса:

R_ρσμν = −R_σρμν

3. Симметрия по парам индексов:

R_ρσμν = R_μνρσ

4. Тождество Бианки (первая форма):

R _σμν^ρ + R _μνσ^ρ + R _νσμ^ρ = 0

Это тождество играет ключевую роль в выводе уравнений Эйнштейна, поскольку приводит к тождественной дивергентности тензора Эйнштейна.

Свертки тензора Римана

Из тензора кривизны получают два важнейших производных объекта — тензор Риччи и скаляр кривизны:

• Тензор Риччи R_μν определяется как:

R_μν = R _μλν^λ

• Скаляр кривизны R — след тензора Риччи по метрике:

R = g^μνR_μν

Таким образом, полный тензор кривизны содержит всю информацию о геометрии многообразия, но его свернутые формы участвуют непосредственно в уравнениях поля Эйнштейна.

Число независимых компонент

В n-мерном пространстве тензор Римана имеет:

$$ N = \frac{n^2(n^2 - 1)}{12} $$

независимых компонент. Например, в четырёхмерном пространстве-времени n = 4, и:

$$ N = \frac{4^2(4^2 - 1)}{12} = \frac{16 \cdot 15}{12} = 20 $$

Эти 20 компонент составляют полное описание локальной кривизны пространства-времени в ОТО.

Геометрическое толкование: параллельный перенос и геодезическая девиация

Физическое значение тензора кривизны Римана ярко проявляется в уравнении геодезической девиации, которое описывает относительное ускорение двух бесконечно близких свободно падающих частиц:

$$ \frac{D^2 \xi^\mu}{d\tau^2} = - R^\mu_{\ \nu\rho\sigma} u^\nu \xi^\rho u^\sigma $$

Здесь ξ^μ — вектор отклонения между траекториями, u^μ — касательный вектор к геодезическим. Это уравнение показывает, что именно тензор Римана отвечает за приливные силы, наблюдаемые в гравитационном поле.

Проекции и разложения: тензор Вейля

Полный тензор Римана можно разложить на три компоненты: тензор Вейля C_ρσμν, тензор Риччи R_μν, и скаляр кривизны R. Формально:

$$ R_{\rho\sigma\mu\nu} = C_{\rho\sigma\mu\nu} + \frac{1}{n - 2} (g_{\rho[\mu} R_{\nu]\sigma} - g_{\sigma[\mu} R_{\nu]\rho}) - \frac{R}{(n - 1)(n - 2)} g_{\rho[\mu} g_{\nu]\sigma} $$

Тензор Вейля отвечает за «чистую» кривизну, не обусловленную локальным распределением материи. В вакууме (где R_μν = 0), тензор Римана совпадает с тензором Вейля.

Плоское пространство и критерий нулевой кривизны

В плоском (специально-релятивистском) пространстве-времени R _σμν^ρ = 0 тождественно. Таким образом, тензор Римана служит необходимым и достаточным критерием локальной плоскости псевдориманова многообразия. Если тензор Римана обнуляется во всей области, то она изометрична области пространства Минковского.

Пример: тензор Римана для сферически симметричной метрики

Для метрики Шварцшильда:

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{r}\right) dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2 $$

компоненты тензора Римана можно вычислить явно. Они убывают как $\sim \frac{GM}{r^3}$, отражая приливный характер гравитации: даже в пустом пространстве вне массы (где T_μν = 0), тензор Римана остаётся ненулевым.

Топология и глобальные аспекты

Хотя тензор Римана описывает локальную кривизну, через теорему Гаусса–Бонне (и её обобщения) он связан с глобальными топологическими инвариантами многообразия. Таким образом, интегралы по тензору кривизны могут определять топологические характеристики, такие как род, число Эйлера и т.д.

Роль в уравнениях поля Эйнштейна

Сам тензор Римана не входит прямо в уравнения поля Эйнштейна, но его свернутые формы — тензор Риччи и скаляр кривизны — формируют левую часть этих уравнений:

$$ G_{\mu\nu} \equiv R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 8\pi G T_{\mu\nu} $$

Следовательно, вся динамика гравитационного поля выражается через свернутые компоненты тензора Римана, который в этом смысле можно считать «генератором» гравитационной геометрии.