Тензор Риччи и скалярная кривизна

Свертывание тензора Римана

В римановой геометрии центральным объектом, описывающим искривление пространства-времени, является тензор Римана R _σμν^ρ. Однако, ввиду своей громоздкости и большого числа компонент (в четырёхмерном пространстве — 256), в физических приложениях часто используют его свернутые формы. Одной из таких свернутых форм является тензор Риччи — результат контракции индексов тензора Римана:

R_μν = R _μλν^λ

Тензор Риччи — симметричный (в случае метрической совместимости и симметричного метрического тензора) тензор второго ранга, содержащий сведения о локальной кривизне многообразия, но в более компактной форме. Он играет фундаментальную роль в уравнениях Эйнштейна общей теории относительности.

Геометрический и физический смысл

Тензор Риччи измеряет, как объёмы геодезических шаров (или поток геодезических) отклоняются от евклидического случая. В частности, он участвует в уравнении Рэячаудхури, которое описывает сходимость или расходимость пучков геодезических:

$$ \frac{d\theta}{d\tau} = -\frac{1}{3} \theta^2 - \sigma_{\mu\nu} \sigma^{\mu\nu} + \omega_{\mu\nu} \omega^{\mu\nu} - R_{\mu\nu} u^\mu u^\nu $$

Здесь θ — скаляр расширения, σ_μν — тензор сдвига, ω_μν — тензор вращения, а u^μ — 4-скорость наблюдателя. Видно, что R_μν напрямую влияет на поведение материи и света в гравитационном поле.

Симметрия и свойства

Для лоренцевых многообразий с метрической связностью (то есть связностью Леви-Чивиты) тензор Риччи обладает следующими свойствами:

• Симметрия: R_μν = R_νμ
• Зависимость от производных второго порядка метрического тензора.
• Локальность: описывает локальные свойства искривления, в отличие от глобальных инвариантов.

Скалярная кривизна

Путём дальнейшей контракции тензора Риччи с метрическим тензором g^μν получают скаляр кривизны R, или просто кривизну Риччи:

R = g^μνR_μν

Это скалярная функция, характеризующая среднюю (инвариантную) величину искривления пространства-времени в данной точке. Она также входит в левые части уравнений Эйнштейна и имеет фундаментальное значение:

• В чистом вакууме без космологического члена: R = 0
• В присутствии материи: R ∝ T, где T — след тензора энергии-импульса.

Скаляр кривизны — это не просто “след кривизны”, а интегральный показатель, отражающий, насколько объём элементарного геодезического шара отличается от соответствующего евклидова шара.

Тензор Риччи в координатном выражении

Выражение тензора Риччи в терминах коэффициентов связности:

R_μν = ∂_λΓ_μν^λ − ∂_νΓ_μλ^λ + Γ_λρ^λΓ_μν^ρ − Γ_νρ^λΓ_μλ^ρ

Это выражение подчеркивает, что R_μν содержит только первую и вторую производные метрического тензора, так как коэффициенты связности Леви-Чивиты зависят от первых производных g_μν.

Роль в уравнениях Эйнштейна

Основное уравнение общей теории относительности:

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$

содержит как тензор Риччи, так и скалярную кривизну. Их комбинация образует тензор Эйнштейна:

$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} $$

Он обладает нулевой ковариантной дивергенцией ∇^μG_μν = 0, что гарантирует выполнение закона сохранения энергии-импульса ∇^μT_μν = 0.

Таким образом, тензор Риччи и скалярная кривизна кодируют гравитационные эффекты, проявляющиеся как в поведении материи, так и в геометрии самого пространства-времени.

Примеры

Пространство Минковского:

g_μν = diag(−1, 1, 1, 1),  R_μν = 0,  R = 0

Идеально плоское пространство без гравитации.

Пространство Шварцшильда:

Вне пределов массы M (в вакууме):

R_μν = 0,  R = 0

Несмотря на это, тензор Римана не равен нулю: присутствует искривление, обусловленное гравитацией, но без локального источника энергии-импульса.

Космологическая модель Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW):

При наличии однородной материи:

$$ R = 6 \left( \frac{\ddot{a}}{a} + \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2} \right) $$

где a(t) — масштабный фактор, k — параметр кривизны. Здесь R отражает динамику расширения Вселенной и связан напрямую с плотностью энергии и давления в космологической среде.

Инвариантность и масштабирование

Скалярная кривизна является инвариантом при координатных преобразованиях: она не зависит от выбора системы координат. Однако при конформных преобразованиях метрического тензора:

g̃_μν = Ω²(x)g_μν

тензор Риччи и скаляр R изменяются по нетривиальным правилам, в отличие от, например, кривизны Вейля, что важно в теоретических моделях с конформной инвариантностью (в частности, в теориях скалярных полей, связующихся с гравитацией).

Обобщение: риманова геометрия с кручением и неметричностью

Если отказать в предположении о симметричности связности или метрической совместимости, структура тензора Риччи меняется. В частности, в геометрии с кручением (телепараллельная гравитация), или в аффинной геометрии с неметрической связностью, определение тензора Риччи усложняется, появляются дополнительные члены, связанные с торсией и неметричностью. Такие обобщения важны в альтернативных теориях гравитации.

Значение в вариационных принципах

В действии Эйнштейна-Гильберта:

$$ S = \frac{c^3}{16\pi G} \int R \sqrt{-g} \, d^4x + S_\text{материи} $$

скаляр кривизны выступает подинтегральным выражением, а вариация этого действия по g_μν приводит к уравнениям Эйнштейна. Это делает R фундаментальным геометрическим объектом, лежащим в основе гравитационной динамики.