Тензорное исчисление в плоском пространстве-времени

Понятие тензора в пространстве Минковского

Тензор — это геометрический объект, определяемый независимо от выбора системы координат и обладающий определённой трансформационной закономерностью при переходе между координатными системами. В контексте плоского пространства-времени Минковского, где метрика постоянна и глобально инерциальна, тензорное исчисление упрощается, сохраняя при этом полную силу описания физических законов в релятивистской форме.

Пространство Минковского — это четырёхмерное линейное пространство с псевдоевклидовой метрикой сигнатуры (+, −, −, −) или (−, +, +, +). Координаты событий обозначаются как x^μ = (x⁰, x¹, x², x³), где x⁰ = ct — временная координата, а x¹, x², x³ — пространственные координаты.

Ковариантные и контравариантные компоненты

Для любого вектора V определяются две формы записи его компонент:

• Контравариантные компоненты V^μ, трансформирующиеся при преобразованиях координат по закону

  $$ V'^\mu = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu} V^\nu $$

• Ковариантные компоненты V_μ, трансформирующиеся по закону

  $$ V'_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu} V_\nu $$

Связь между ними осуществляется с помощью метрического тензора Минковского η_μν, определяемого как

$$ \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Контравариантный вектор понижается до ковариантного с использованием метрики:

V_μ = η_μνV^ν,  V^μ = η^μνV_ν

Тензоры произвольного ранга

Тензором ранга (r, s) называется объект с r верхними (контравариантными) и s нижними (ковариантными) индексами, подчиняющийся тензорному правилу преобразования:

$$ T'^{\mu_1 \dots \mu_r}_{\nu_1 \dots \nu_s} = \frac{\partial x'^{\mu_1}}{\partial x^{\alpha_1}} \dots \frac{\partial x'^{\mu_r}}{\partial x^{\alpha_r}} \frac{\partial x^{\beta_1}}{\partial x'^{\nu_1}} \dots \frac{\partial x^{\beta_s}}{\partial x'^{\nu_s}} T^{\alpha_1 \dots \alpha_r}_{\beta_1 \dots \beta_s} $$

Примеры тензоров:

• T^μ — тензор ранга (1,0), вектор.
• A_μν — тензор ранга (0,2), например, электромагнитный тензор.
• g_μν — метрический тензор (0,2).
• δ_ν^μ — смешанный тензор Кронекера ранга (1,1).

Операции над тензорами

1. Симметризация и антисимметризация Тензор можно представить как сумму симметричной и антисимметричной частей:

   $$ T_{(\mu\nu)} = \frac{1}{2}(T_{\mu\nu} + T_{\nu\mu}), \quad T_{[\mu\nu]} = \frac{1}{2}(T_{\mu\nu} - T_{\nu\mu}) $$

2. Свертка (контракция) Свертка по паре одного верхнего и одного нижнего индекса:

   T_μ^μ = Tr (T)

3. Произведение тензоров Произведение тензора ранга (r₁, s₁) с тензором ранга (r₂, s₂) даёт тензор ранга (r₁ + r₂, s₁ + s₂)

Производные тензоров в плоском пространстве-времени

В плоском пространстве Минковского, где метрика постоянна и её производные равны нулю, ковариантная производная совпадает с частной:

∇_μT_λ…^ν… = ∂_μT_λ…^ν…

Это справедливо только в глобально-инерциальных системах. Любое производное выражение, содержащее тензоры, остаётся тензором того же ранга.

Преобразования Лоренца и поведение тензоров

Основным преобразованием координат, сохраняющим форму метрического тензора Минковского, является преобразование Лоренца:

x′^μ = Λ_ν^μx^ν,  η_μν = Λ_μ^αΛ_ν^βη_αβ

Любой тензор, преобразующийся согласно этим правилам, является тензором Лоренца. Это сохраняет инвариантность физических законов в СТО.

Инварианты в тензорной форме

Квадрат четырёхвектора A^μ — лоренц-инвариант:

A^μA_μ = η_μνA^μA^ν

Тензор энергии-импульса T^μν допускает инвариантную запись закона сохранения энергии-импульса:

∂_νT^μν = 0

Аналогично, уравнения Максвелла в вакууме формулируются через антисимметричный тензор F_μν:

∂^μF_μν = μ₀J_ν

Эпсилон-символ и псевдотензоры

Символ Леви-Чивиты ε^μνρσ используется для определения ориентации и псевдотензоров:

ε⁰¹²³ = +1,  ε_μνρσ = −ε^μνρσ

Он не является тензором в полном смысле, но полезен для построения инвариантов, например, в формулировке двойственного тензора электромагнитного поля:

$$ \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} F_{\alpha\beta} $$

Тензор энергии-импульса

В плоском пространстве Минковского важнейшую роль играет тензор энергии-импульса T^μν, характеризующий поток четырёхимпульса через гиперповерхность. Он симметричен и удовлетворяет уравнению сохранения:

∂_νT^μν = 0

Для идеальной жидкости он имеет вид:

T^μν = (ρ + p)u^μu^ν − pη^μν

где ρ — плотность энергии, p — давление, u^μ — четырёхскорость.

Четырёхмерный дифференциальный формализм

В более продвинутом подходе удобно рассматривать тензоры как дифференциальные формы. Например, электромагнитный тензор F_μν можно интерпретировать как 2-форму:

$$ F = \frac{1}{2} F_{\mu\nu} dx^\mu \wedge dx^\nu $$

Законы Максвелла тогда записываются компактно:

dF = 0,  d * F = μ₀*J

где * — операция Ходжа (звёздочка), переводящая p-форму в (4 − p)-форму с помощью метрики Минковского и символа Леви-Чивиты.

Скалярное произведение и ортогональность

В псевдоевклидовой метрике скалярное произведение определяется как

A ⋅ B = η_μνA^μB^ν

Понятие ортогональности сохраняется: A ⋅ B = 0 означает ортогональность четырёхвекторов. Например, четырёхскорость u^μ ортогональна четырёхускорению $a^\mu = \frac{d u^\mu}{d\tau}$:

u_μa^μ = 0

Роль метрического тензора

В плоском пространстве метрика Минковского постоянна, и её производные равны нулю:

∂_λη_μν = 0

Это даёт возможность использовать только частные производные и обойтись без связности (коэффициентов Христоффеля), в отличие от искривлённого пространства-времени общей теории относительности.

Таким образом, тензорное исчисление в пространстве Минковского — мощный и компактный язык, лежащий в основе всей специальной теории относительности, а также служащий фундаментом при переходе к общей теории относительности.