Геометрия с кручением: расширение римановой структуры
Классическая общая теория относительности (ОТО) опирается на риманову геометрию, в которой связность пространства-времени симметрична и определяется исключительно метрическим тензором. Однако в более обобщённых геометрических построениях можно допустить наличие антисимметричной части связности — кручения. Это приводит к аффинной геометрии с кручением, или геометрии Римана–Картана, в которой поле кручения рассматривается как динамически значимое.
Кручение представляет собой тензор, характеризующий несоизмеримость параллельного переноса вектора вдоль замкнутого контура, отличную от той, что даёт кривизна. В рамках формализма внешних дифференциальных форм, кручение выражается как 2-форма:
Θa = dϑa + ωab ∧ ϑb,
где ϑa — тетрады (базисные 1-формы), а ωab — связность Лоренцева группы. Ненулевое Θa означает наличие кручения.
Теория Эйнштейна–Картана
Первым шагом к включению кручения в гравитационную физику стала теория Эйнштейна–Картана (ЭК), разработанная в 1920-х годах Эли Картаном и позднее развитая в 1960–70-х годах. Эта теория обобщает ОТО, добавляя к полю гравитации связность с кручением, но при этом сохраняет метрическую совместимость:
∇λgμν = 0.
Связность в ЭК-теории определяется как:
Γμνλ = Γ̃μνλ + Kμνλ,
где Γ̃μνλ — обычная симметричная связность Леви-Чивита, а Kμνλ — тензор конторсии, выражаемый через тензор кручения:
$$ T^\lambda_{\mu\nu} = \Gamma^\lambda_{\mu\nu} - \Gamma^\lambda_{\nu\mu}, \quad K^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2}(T^\lambda_{\mu\nu} - T_{\mu}{}^\lambda{}_{\nu} + T_{\nu}{}^\lambda{}_{\mu}). $$
Динамические уравнения ЭК-теории получаются вариацией по тетрадам и связности от действия, включающего скалярную кривизну R, построенную на полной связности:
$$ S = \frac{1}{2\kappa} \int d^4x\, e\, R + S_{\text{matter}}. $$
Появление кручения обусловлено присутствием спина у вещества. Уравнения движения показывают, что тензор кручения связан с тензором спина Sλμν:
Tμνλ ∝ Sμνλ.
Таким образом, в отсутствие вещества с ненулевым спином (например, в вакууме) теория ЭК редуцируется к ОТО.
Геометрическая интерпретация и свойства кручения
Кручение проявляется как локальная асимметрия геометрии, связанная с микроструктурой материи. Оно влияет на параллельный перенос и движение частиц со спином. Однако на макроскопическом уровне эффект кручения, как правило, подавлен, так как в обычных условиях средний спин вещества либо равен нулю, либо чрезвычайно мал.
Классическая трактовка уравнений движения в пространстве с кручением показывает, что для безспиновых частиц траектории совпадают с геодезическими Леви-Чивита, а частицы со спином испытывают прецессию и отклонение под действием кручения.
Обобщённые скалярные и тензорные теории с кручением
Теория Эйнштейна–Картана служит фундаментом для более сложных построений, таких как:
Poincaré Gauge Theory (PGT) — калибровочная теория группы Пуанкаре, где кручение и кривизна интерпретируются как калибровочные поля трансляций и Лоренцевых преобразований соответственно. Динамика кручения в PGT становится полноценной, и возможны волны кручения.
Теория Хайле и Киббла — построенная как калибровка группы Лоренца, с независимыми тетрадами и связностью, что приводит к нелинейным уравнениям с богатой структурой.
Обобщённые теории с квадратичными инвариантами — в них в действие включаются скалярные комбинации типа TλμνTλμν и другие квадратичные выражения из кручения и/или кривизны. Это может приводить к появлению новых степеней свободы и мод гравитационных волн.
Спин-ориентированная материя и сингулярности
Интересным следствием ЭК-теории является возможность устранения гравитационных сингулярностей. При чрезвычайных плотностях и концентрациях спина кручение становится существенным и действует как репульсивная сила. Это позволяет избежать сингулярностей типа r = 0 в модели коллапса и в ранней Вселенной.
Формализм Эйнштейна–Картана предполагает наличие естественного ультрафиолетового (УФ) отсечения, которое проявляется в максимально допустимой плотности порядка $\rho_{\text{crit}} \sim \frac{m_{\text{Pl}}^2}{\hbar^2}$. Это даёт перспективу разрешения проблемы начальной сингулярности в космологии.
Кручение в спинорной и квантовой гравитации
Кручение особенно естественно сочетается с представлением материи в виде спиноров Дирака. Введение фермионных полей в геометрическую теорию гравитации требует использования тетрадного формализма и спин-связности. Кручение проявляется как контактное взаимодействие между фермионами:
ℒint ∼ (ψ̄γμγ5ψ)2,
что является следствием исключения аффинной связности из уравнений. Такое взаимодействие может приводить к спонтанному нарушению симметрий, генерации массы и другим нелинейным эффектам.
Кроме того, в рамках петлевой квантовой гравитации (LQG) кручение связано с так называемым барберовским параметром (Barbero–Immirzi parameter), определяющим спектр операторов геометрии (площадь, объём). Введение кручения на уровне квантования связано с модификацией симплектической структуры фазового пространства.
Кручение в телепараллельной гравитации и альтернативных подходах
Интересной альтернативой является телепараллельная теория гравитации (Teleparallel Gravity, TPG), в которой кручение, а не кривизна, отвечает за гравитационное взаимодействие. Связность Вейценбёка, в отличие от Леви-Чивита, имеет нулевую кривизну и ненулевое кручение. Модификации телепараллельной теории, такие как f(T)-гравитация, активно исследуются в космологии как возможные объяснения ускоренного расширения Вселенной.
В таких подходах гравитация интерпретируется не как геометрическое искривление, а как силовое поле, аналогичное электромагнетизму, но связанное с трансляционными симметриями.
Энергетика, волны и наблюдательные ограничения
Кручение в большинстве моделей не наблюдается непосредственно при обычных условиях, однако оно может проявляться:
Предлагаются модели гравитационных волн с кручением, обладающих дополнительными модами по сравнению с ОТО. Однако их детектирование остаётся на пределе текущих возможностей.
Современное состояние и перспективы
Теории с кручением остаются мощным и гибким расширением общей теории относительности, объединяющим гравитацию и спин материи. Хотя прямые наблюдательные подтверждения пока отсутствуют, многочисленные теоретические аргументы, включая квантовую гравитацию, космологию и физику высоких энергий, поддерживают актуальность изучения таких моделей.
Интеграция кручения в фундаментальные теории может привести к новому пониманию природы пространства-времени, устранению сингулярностей, определению новых элементарных взаимодействий и прогрессу в формализации квантовой гравитации.