Формулировка теории Бранса — Дике
Теория Бранса — Дике представляет собой одну из первых и наиболее исследованных скалярно-тензорных альтернатив общей теории относительности (ОТО), направленных на включение варьируемой гравитационной «постоянной» и реализацию идей, восходящих к принципу Маха. Она была предложена Карлом Брансом и Робертом Дике в 1961 году, как модификация гравитационной динамики, включающая дополнительное скалярное поле, взаимодействующее с тензорным гравитационным полем. Эта теория расширяет геометродинамический подход Эйнштейна, сохраняя ковариантность и локальную лоренц-инвариантность, но модифицируя сам способ гравитационного взаимодействия.
Динамические переменные и лагранжиан
Основные переменные теории Бранса — Дике:
Действие теории Бранса — Дике в естественных единицах (c = ℏ = 1) имеет вид:
$$ S = \frac{1}{16\pi} \int d^4x \sqrt{-g} \left( \phi R - \frac{\omega}{\phi} \nabla^\mu \phi \nabla_\mu \phi \right) + S_{\text{matter}}[g_{\mu\nu}, \Psi] $$
Здесь:
Скалярное поле ϕ играет роль величины, обратной к переменной гравитационной постоянной: Geff ∝ 1/ϕ.
Уравнения движения
Вариация действия по gμν и ϕ даёт систему полевых уравнений:
Уравнение для метрического тензора:
$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi}{\phi} T_{\mu\nu} + \frac{\omega}{\phi^2} \left( \nabla_\mu \phi \nabla_\nu \phi - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \nabla^\lambda \phi \nabla_\lambda \phi \right) + \frac{1}{\phi} \left( \nabla_\mu \nabla_\nu \phi - g_{\mu\nu} \Box \phi \right) $$
Уравнение для скалярного поля:
$$ \Box \phi = \frac{8\pi}{3 + 2\omega} T $$
где:
Таким образом, источником для ϕ выступает след тензора энергии-импульса, что отличает теорию от ОТО, где константа G фиксирована.
Физические особенности и пределы
Одна из ключевых особенностей теории Бранса — Дике заключается в зависимости силы гравитационного взаимодействия от распределения материи во Вселенной, в духе принципа Маха. Для больших значений ω → ∞ теория стремится к ОТО, при условии, что ϕ → const. Это позволяет рассматривать Бранса — Дике как параметризованное отклонение от Эйнштейновской гравитации, пригодное для экспериментальной верификации.
Экспериментальные ограничения на ω, полученные из наблюдений за прецессией перигелия Меркурия, эффектом замедления времени в гравитационном поле, и особенно из РЛИ и лазерной локации Луны, накладывают строгие ограничения: по современным данным, ω ≳ 50000, что делает отличия от ОТО практически неразличимыми в астрофизических масштабах.
Фреймы: Иорданов и Эйнштейнов
Теория Бранса — Дике допускает переписывание в так называемом Эйнштейновом фрейме, где гравитационная часть действия принимает форму общей теории относительности, а скалярное поле взаимодействует с материей не минимально. Это достигается конформным преобразованием:
g̃μν = ϕ gμν
В этом фрейме действие переписывается как:
$$ S = \int d^4x \sqrt{-\tilde{g}} \left( \frac{1}{16\pi} \tilde{R} - \frac{1}{2} \tilde{g}^{\mu\nu} \partial_\mu \varphi \partial_\nu \varphi \right) + S_{\text{matter}}[\phi^{-1} \tilde{g}_{\mu\nu}, \Psi] $$
где φ — переформулированное скалярное поле, связанное с ϕ через:
$$ \varphi = \sqrt{\frac{2\omega + 3}{16\pi}} \ln \phi $$
Таким образом, в Эйнштейновом фрейме скалярное поле обладает стандартной кинетикой, но действует на материю как дополнительная сила (так называемая скалярная сила). Выбор между Иордановым и Эйнштейновым фреймом зависит от физической интерпретации и удобства решения задач.
Космологические следствия
Бранса — Дике теория активно применяется в космологии, особенно в ранней Вселенной, где возможна существенная эволюция ϕ. Простейшие космологические модели во фрейме Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера показывают, что скалярное поле может доминировать в динамике расширения на ранних стадиях и даже приводить к ускоренному расширению, подобному инфляции.
В рамках этой теории была развита расширенная инфляция (extended inflation), предложенная для устранения проблем стандартной инфляции, связанных с пузырьковым разрастанием при фазовом переходе.
Кроме того, переменность G допускает возможность связи с наблюдаемыми эффектами, такими как ускоренное расширение Вселенной, не прибегая к космологической постоянной. Однако такая модель требует тонкой настройки и дополнительных потенциальных членов для поля ϕ.
Связь с современными теориями
Современные обобщения скалярно-тензорных теорий включают обобщения Бранса — Дике с функцией ω(ϕ) и добавлением потенциала V(ϕ). Такие теории входят в состав более общей структуры, известной как теории Хорвендески, которые являются наиболее общими скалярно-тензорными теориями, дающими второго порядка уравнения движения. Бранса — Дике теория оказывается частным случаем при V(ϕ) = 0 и постоянном ω.
В теории струн скалярные поля (например, дилатон) естественным образом возникают при компактификации дополнительных измерений, и эффективные низкоэнергетические действия часто принимают форму Бранса — Дике-подобных моделей. Это делает теорию Бранса — Дике важным связующим звеном между классической гравитацией и квантовой гравитацией.
Экспериментальные тесты и наблюдения
Наблюдательные следствия теории Бранса — Дике могут быть выражены через параметры постньютоновского приближения (PPN). В частности, параметр γ, измеряющий кривизну пространства, порождённую единичной массой, выражается в этой теории как:
$$ \gamma = \frac{1 + \omega}{2 + \omega} $$
Современные измерения, в частности из миссии Cassini, дают:
γ − 1 = (2.1 ± 2.3) × 10−5
что соответствует ω > 4 × 104, существенно ограничивая отклонения от ОТО.
Однако в модификациях с потенциалом или функцией ω(ϕ), и в условиях скрининга (например, механизм Хамелеона), эти ограничения могут быть существенно ослаблены в высокоплотных средах, сохраняя при этом наблюдаемую динамику гравитации в космосе.
Заключительные замечания
Теория Бранса — Дике является краеугольным камнем альтернативной гравитации и представляет собой важную парадигму в изучении скалярно-тензорных моделей. Она охватывает широкий спектр физических и космологических явлений, предоставляя инструмент для анализа как фундаментальных аспектов гравитационного взаимодействия, так и возможных наблюдаемых отклонений от общей теории относительности.