Теория линеаризованной гравитации

Основные принципы приближения

Общая теория относительности (ОТО) представляет собой нелинейную геометрическую теорию гравитации, основанную на уравнениях Эйнштейна. Однако во многих физических ситуациях — например, при слабых гравитационных полях или на больших расстояниях от источников поля — можно использовать приближение, в котором метрический тензор рассматривается как небольшое отклонение от плоской метрики Минковского. Такое приближение называется линеаризованной гравитацией.

Пусть метрический тензор записан как:

g_μν = η_μν + h_μν,  |h_μν| ≪ 1,

где η_μν — метрика Минковского (сигнатура +, −, −, −), а h_μν — малая поправка, описывающая возмущения. Это возмущение трактуется как гравитационная волна или слабое гравитационное поле.

Гейдж-инвариантность и калибровочные преобразования

Уравнения Эйнштейна инвариантны относительно диффеоморфизмов — координатных преобразований. В линеаризованной теории это приводит к калибровочной инвариантности:

h_μν → h_μν′ = h_μν − ∂_μξ_ν − ∂_νξ_μ,

где ξ_μ(x) — произвольная гладкая малая функция. Эта свобода позволяет выбрать удобную калибровку. Наиболее часто используется поперечно-трассировочная (TT) или гармоническая (калибровка Лоренца) калибровка:

$$ \partial^\nu \bar{h}_{\mu\nu} = 0, \quad \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h, $$

где h = h _λ^λ — след возмущения.

Линеаризованные уравнения Эйнштейна

Уравнения Эйнштейна:

$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

при подстановке разложения g_μν = η_μν + h_μν и отбрасывании нелинейных членов дают:

$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

где □ = η^ρσ∂_ρ∂_σ — волновой оператор в плоском пространстве Минковского.

Это волновые уравнения для гравитационного поля. В вакууме (T_μν = 0):

□h̄_μν = 0.

Таким образом, в линеаризованной теории гравитация распространяется в виде гравитационных волн со скоростью света.

Свободные гравитационные волны и степени свободы

В вакууме, с наложением калибровки ∂^νh̄_μν = 0 и дополнительным условием h̄ = 0, решение волнового уравнения имеет вид:

h̄_μν(x) = Re{A_μνe^ik_αxα},

где k^μ — волновой 4-вектор, удовлетворяющий k^μk_μ = 0, а A_μν — симметричный тензор амплитуд. Условиями калибровки накладываются ограничения на A_μν, оставляя только две независимые поляризации гравитационной волны. Обычно их обозначают как “плюс” и “крест” (в терминах форм поля в TT-калибровке).

Энергия гравитационных волн и тензор псевдоэнергии

Хотя гравитация — это геометрический феномен, при линейном приближении можно определить поток энергии и импульса гравитационного поля через тензор псевдоэнергии:

$$ t^{\mu\nu}_{\text{GW}} = \frac{c^4}{32\pi G} \left\langle \partial^\mu h^{\alpha\beta} \partial^\nu h_{\alpha\beta} \right\rangle, $$

где угловые скобки обозначают усреднение по нескольким длинам волны (времени). Этот объект не является тензором в полном смысле слова, но в линейной теории позволяет вычислять энерговыделение гравитационных волн.

Гравитационное излучение: квадрупольная формула

В линеаризованной теории основным источником гравитационных волн являются изменения квадрупольного момента тензора энергии-импульса источника. Формула для тензора излучения в зоне излучения (r → ∞):

$$ h_{ij}^{\text{TT}}(t, \mathbf{x}) = \frac{2G}{c^4 r} \ddot{Q}_{ij}^{\text{TT}}(t - r/c), $$

где Q_ij — квадрупольный момент массы:

$$ Q_{ij} = \int \rho(\mathbf{x}) \left(x_i x_j - \frac{1}{3} \delta_{ij} r^2 \right) d^3x, $$

и $\ddot{Q}_{ij}$ — его вторая производная по времени. Поток энергии, уносимой гравитационными волнами:

$$ \frac{dE}{dt} = -\frac{G}{5c^5} \left\langle \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}_{ij} \right\rangle. $$

Линеаризованная гравитация и ньютоновский предел

Линеаризованная теория в квазистатической области восстанавливает ньютоновскую гравитацию. В частности, если h₀₀ = −2ϕ/c², где ϕ — ньютоновский потенциал, то:

$$ \Box \bar{h}_{00} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{00} \quad \Rightarrow \quad \nabla^2 \phi = 4\pi G \rho, $$

что соответствует уравнению Пуассона.

Гравитационные волны и взаимодействие с материей

Гравитационные волны деформируют пространство-время, вызывая относительное смещение пробных частиц. Это описывается уравнением геодезического отклонения:

$$ \frac{D^2 \xi^\mu}{d\tau^2} = - R^\mu_{\ \nu\rho\sigma} u^\nu \xi^\rho u^\sigma, $$

где ξ^μ — вектор смещения между двумя частицами, u^μ — 4-скорость. В TT-калибровке гравитационные волны проявляют себя как периодические изменения расстояния между пробными массами. Именно этот эффект используется в детекторах, таких как LIGO и Virgo.

Обобщённые свойства и ограничения

Линеаризованная гравитация применима только при слабых полях. Она не учитывает нелинейных взаимодействий, существующих в полной ОТО. Однако она крайне важна:

• для описания гравитационных волн;
• для численного моделирования начальных стадий динамики;
• для анализа взаимодействия гравитации с квантовыми полями (первый шаг к квантовой гравитации);
• для интерпретации астрофизических сигналов от двойных систем, пульсаров, слияний чёрных дыр.

Метод линеаризации также лежит в основе постньютоновских приближений и теорий, объединяющих гравитацию с другими взаимодействиями в рамках эффективных полевых подходов.

Взаимосвязь с квантовой теорией поля

Интерпретация h_μν как калибровочного бозона с s = 2, распространяющегося на фоне плоского пространства, лежит в основе построения квантовой теории гравитации в линейном приближении. Такие модели рассматриваются как эффективные теории для описания гравитонов — кванта возмущения метрики.

Это связывает линеаризованную гравитацию с широкой программой исследования гравитации на микроуровне, хотя полная, непротиворечивая квантовая теория гравитации до сих пор не построена.