При изучении гравитационных систем в рамках ньютоновской или релятивистской теории часто возникает необходимость понять, как отклонения от идеализированных конфигураций развиваются с течением времени. Для этого применяется метод возмущений — подход, при котором полагается, что отклонения малы и допускается их линейная аппроксимация. Пусть имеется некоторая стационарная система, описываемая гравитационным потенциалом Φ0(r), создаваемым плотностью массы ρ0(r), удовлетворяющим уравнению Пуассона:
∇2Φ0 = 4πGρ0.
Добавим малое возмущение: Φ = Φ0 + δΦ, ρ = ρ0 + δρ, где δΦ и δρ — возмущённые части. Подставляя это в уравнение Пуассона и пренебрегая нелинейными членами второго порядка, получаем:
∇2δΦ = 4πGδρ.
Таким образом, задача анализа гравитационных возмущений сводится к решению уравнения для δΦ, связанного с δρ, и, при необходимости, с другими уравнениями, такими как уравнения движения материи или уравнение сохранения массы.
В задачах звёздной динамики и космологии ключевое значение имеют уравнения гидродинамики: уравнение Эйлера, уравнение непрерывности и уравнение Пуассона. Рассмотрим линейные возмущения в самогравитирующей жидкости:
$$ \frac{\partial \delta \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho_0 \delta \mathbf{v} + \delta \rho \mathbf{v}_0) = 0, $$
$$ \frac{\partial \delta \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}_0 \cdot \nabla) \delta \mathbf{v} + (\delta \mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}_0 = - \frac{1}{\rho_0} \nabla \delta P + \frac{\delta \rho}{\rho_0^2} \nabla P_0 - \nabla \delta \Phi, $$
∇2δΦ = 4πGδρ.
В случае стационарной невозмущённой конфигурации (v0 = 0), уравнения существенно упрощаются. Возмущения можно искать в виде плоских волн:
δρ, δΦ, δv ∝ ei(k ⋅ r − ωt),
что приводит к дисперсионным соотношениям, характерным для гравитационной неустойчивости.
Важным частным случаем является анализ гравитационной неустойчивости однородной среды. Пусть ρ0 = const, давление подчиняется закону P = cs2ρ, где cs — скорость звука. Тогда дисперсионное соотношение принимает вид:
ω2 = cs2k2 − 4πGρ0.
Если $k < k_J = \sqrt{4 \pi G \rho_0}/c_s$, то ω2 < 0, и возмущения растут экспоненциально. Это означает неустойчивость по Джинсу: система подвержена гравитационному коллапсу на масштабах, превышающих джинсовскую длину λJ = 2π/kJ.
В гравитационных системах, состоящих из множества тел, как например в планетных системах или звёздных скоплениях, могут возникать резонансные взаимодействия между орбитами. Если отношение периодов движения двух тел близко к рациональному числу, например T1/T2 ≈ p/q, где p, q — целые числа, то происходит резонанс, способный приводить к накоплению эффекта даже от малых возмущений.
Так, в случае планетных систем, малые тела, находящиеся в орбитальных резонансах с более массивными планетами, могут испытывать значительные изменения эксцентриситета и наклонения орбиты. Это явление проявляется, например, в поясе Койпера, где многие объекты находятся в 3:2 резонансе с Нептуном.
Анализ устойчивости в таких системах требует использования теории возмущений, в частности метода секулярных уравнений и усреднения по быстро меняющимся переменным. Важным результатом является критерий устойчивости Ляпунова, согласно которому система устойчива, если возмущения остаются ограниченными при t → ∞.
Приливные силы, возникающие из-за неоднородности гравитационного поля на протяжённых телах, также являются источником возмущений. Эти силы не только вызывают деформацию тел (как, например, приливные горбы на Земле, вызванные Луной), но и влекут за собой обмен угловым моментом, орбитальную эволюцию и диссипацию энергии.
Приливное взаимодействие может быть формализовано как возмущение гравитационного потенциала:
$$ \delta \Phi_\text{tidal}(\mathbf{r}) = -\frac{1}{2} \mathcal{E}_{ij} x^i x^j, $$
где ℰij — приливный тензор, описывающий квадрупольную структуру внешнего поля. В релятивистской теории ℰij связан с кривизной пространства-времени (тензор Вейля).
В системах типа “звезда-планета”, приливное взаимодействие может приводить к синхронизации вращения и даже к миграции орбит, особенно в присутствии диссипативных процессов (вязкость, инерция, нагрев).
В рамках общей теории относительности малые возмущения метрики на фоне плоского пространства могут интерпретироваться как гравитационные волны. Пусть метрика записывается как:
gμν = ημν + hμν, |hμν| ≪ 1,
тогда, в линейном приближении и в калибровке Лоренца, волновое уравнение имеет вид:
□h̄μν = −16πGTμν,
где h̄μν — след-свободная часть возмущения, □ — оператор Д’Аламбера. В вакууме (Tμν = 0) решение соответствует распространяющейся волне:
h̄μν ∼ Aμνei(kαxα).
Гравитационные волны являются фундаментальным проявлением динамических гравитационных возмущений, распространяющихся со скоростью света и переносящих энергию, импульс и угловой момент.
Гравитационные возмущения имеют множество наблюдаемых следствий:
Изучение возмущений в гравитационных системах требует сочетания аналитических методов, численного моделирования и наблюдательной астрофизики, обеспечивая глубокое понимание эволюции структур в масштабах от звёздных систем до космоса в целом.