Вращающиеся черные дыры

Метрика Керра и структура пространства-времени

Вращающиеся чёрные дыры описываются решением уравнений Эйнштейна, найденным Роем Керром в 1963 году. Это решение — метрика Керра — представляет собой обобщение метрики Шварцшильда для случая, когда центральный объект обладает угловым моментом. Метрика Керра описывает стационарную, осесимметричную, вакуумную чёрную дыру с массой M и моментом импульса J.

В системе Бойера-Линдквиста метрика Керра имеет следующий вид:

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2Mr}{\Sigma}\right)dt^2 - \frac{4Mar\sin^2\theta}{\Sigma} dt\, d\phi + \frac{\Sigma}{\Delta} dr^2 + \Sigma d\theta^2 + \left(r^2 + a^2 + \frac{2Ma^2r \sin^2\theta}{\Sigma}\right) \sin^2\theta d\phi^2, $$

где

$$ \Sigma = r^2 + a^2 \cos^2\theta, \quad \Delta = r^2 - 2Mr + a^2, \quad a = \frac{J}{M}. $$

Здесь a — удельный момент импульса (спин), Δ и Σ — вспомогательные функции, определяющие структуру метрики.

Горизонты событий и эргосфера

В метрике Керра существуют два фундаментальных радиуса:

  • Горизонт событий — внешний корень уравнения Δ = 0, то есть

$$ r_\pm = M \pm \sqrt{M^2 - a^2}, $$

где r+ — радиус внешнего горизонта, а r− — внутреннего.

  • Эргосфера — область вне внешнего горизонта, где компонент gtt становится положительным. Внутри эргосферы никакой объект не может оставаться в покое относительно удалённого наблюдателя, и всякое движение вынуждено вращаться вместе с чёрной дырой. Граница эргосферы определяется условием:

$$ g_{tt} = 0 \Rightarrow r_E(\theta) = M + \sqrt{M^2 - a^2 \cos^2\theta}. $$

Эргосфера представляет собой область между поверхностью rE(θ) и горизонтом r+, и имеет форму, напоминающую сжатый эллипсоид вращения.

Фрейм-дрэггинг и эффекты вращения

Одной из характерных особенностей вращающихся чёрных дыр является эффект переносимой инерциальной системы отсчёта (frame dragging). Это проявление общей теории относительности, при котором пространство-время “увлекается” вращающимся телом. В метрике Керра это выражается наличием ненулевого gtϕ, что приводит к тому, что наблюдатель, стремящийся оставаться на месте (фиксированное ϕ), ощущает вращение.

Скорость увлечения системы отсчёта может быть выражена как:

$$ \omega = -\frac{g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}}, $$

что представляет собой угловую скорость, с которой пространство-время вращается вокруг чёрной дыры. Это особенно выражено вблизи горизонта событий и внутри эргосферы.

Процесс Пенроуза и извлечение энергии

Открытие эргосферы дало возможность предположить наличие механизма извлечения энергии из вращающейся чёрной дыры. Такой процесс был предложен Роджером Пенроузом и известен как процесс Пенроуза. Он заключается в следующем:

  1. Частица входит в эргосферу и распадается на две части.
  2. Одна из частиц падает внутрь горизонта с отрицательной энергией (относительно удалённого наблюдателя).
  3. Вторая частица уносит энергию, превышающую исходную энергию системы.

Максимально возможный коэффициент усиления энергии при этом процессе составляет:

$$ E_{\text{max}} = E_0 (1 + \sqrt{2}), $$

что соответствует увеличению энергии примерно на 41%. Это явление имеет важное значение в астрофизике, в частности, в моделях аккреционных дисков и джетов, исходящих от активных ядер галактик.

Экстремальные и сверхэкстремальные чёрные дыры

Чёрная дыра Керра допускает различные режимы в зависимости от значения a:

  • a = 0 — невращающаяся (метрика Шварцшильда),
  • 0 < a < M — обычная вращающаяся чёрная дыра,
  • a = M — экстремальная чёрная дыра, при которой r+ = r− = M, горизонт событий вырожден.
  • a > M — сверхэкстремальное решение, в этом случае отсутствует горизонт событий, и сингулярность становится видимой (голая сингулярность), что нарушает гипотезу космической цензуры.

Экстремальные чёрные дыры имеют специфические свойства: температура их горизонта равна нулю, а поверхность горизонта — максимальна среди всех вращающихся чёрных дыр при фиксированной массе.

Геодезические линии и орбиты

Динамика частиц и фотонов в метрике Керра более сложна, чем в случае Шварцшильда. Здесь возможно существование наклонных и ретроградных орбит, а радиусы стабильных круговых орбит зависят от направления вращения:

  • Прокрадная (сонаправленная) орбита для фотона находится ближе к горизонту, чем ретроградная (противонаправленная).
  • Внутренняя граница устойчивых круговых орбит (ISCO) определяется углом наклона к оси вращения и уменьшается при увеличении a.

Для аккреционных дисков важно, что ISCO у прокрадных орбит может быть вплоть до r = M при a = M, что увеличивает эффективность преобразования гравитационной энергии в электромагнитное излучение.

Термодинамические свойства вращающихся чёрных дыр

Для чёрных дыр Керра определены аналог термодинамических величин:

  • Температура Хокинга:

$$ T = \frac{\hbar \sqrt{M^2 - a^2}}{2\pi (r_+^2 + a^2)}, $$

которая обращается в ноль при a = M.

  • Площадь горизонта:

A = 4π(r+2 + a2),

что играет роль энтропии по формуле Бекенштейна–Хокинга:

$$ S = \frac{k_B A}{4 l_P^2}. $$

Эти результаты легли в основу формализма термодинамики чёрных дыр, связывающей геометрию горизонта, квантовые эффекты и статистическую физику.

Астрофизические наблюдения и вращающиеся чёрные дыры

Реальные чёрные дыры, как предполагается, практически всегда обладают ненулевым моментом импульса. Это объясняется как наследованием вращения звезды-прародителя, так и аккрецией вещества. Современные методы оценки параметров чёрных дыр, такие как спектроскопия железных линий в рентгеновских спектрах или анализ квазипериодических колебаний (QPO), позволяют определять спин чёрных дыр.

Высокие значения a наблюдаются у чёрных дыр в активных ядрах галактик и микроквазаров, что подтверждает ключевую роль вращения в формировании релятивистских джетов.

Наблюдаемая форма тени чёрной дыры

Вращение чёрной дыры искажает форму её “тени” — области, из которой свет не может достичь наблюдателя. При нулевом спине тень сферически симметрична, но в метрике Керра наблюдается асимметрия: прокрадные фотоны проходят ближе к горизонту и искажают очертания тени. Это было экспериментально подтверждено при наблюдениях тени сверхмассивной чёрной дыры в центре галактики M87 при помощи Event Horizon Telescope.

Таким образом, вращение не только обогащает внутреннюю структуру чёрных дыр, но и проявляется в измеримых астрофизических эффектов, связывая релятивистскую теорию гравитации с наблюдательной астрономией.

Оглавление