Вывод уравнений Эйнштейна

Кривизна и её связь с тензором энергии-импульса

В рамках общей теории относительности гравитационное взаимодействие интерпретируется как проявление геометрических свойств пространства-времени. Основной задачей является нахождение уравнений, которые связывают геометрию (кривизну) с распределением материи и энергии. Эти уравнения известны как уравнения Эйнштейна.

Для их вывода необходимо использовать несколько фундаментальных понятий: тензор энергии-импульса как источник гравитационного поля, тензор Римана как мера кривизны, тензор Риччи как её свёртка и скалярная кривизна как окончательная редукция тензорной информации. Требование общей ковариантности и сохранения энергии и импульса приводит к строгим ограничениям на возможную форму уравнений поля.

Формальные требования к уравнениям гравитационного поля

Уравнения гравитационного поля должны удовлетворять следующим принципам:

  • Общая ковариантность — инвариантность относительно произвольных координатных преобразований;

  • Локальный закон сохранения энергии-импульса — требование, чтобы тензор энергии-импульса был ковариантно сохраняемым:

    ∇μTμν = 0;

  • Линейность по вторым производным метрики — чтобы уравнения были дифференциальными уравнениями второго порядка;

  • Соответствие ньютоновской теории в пределе слабых полей и малых скоростей.

С этими условиями наиболее естественным кандидатом для левой части уравнений (описывающей кривизну) является тензор Эйнштейна:

$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R, $$

где Rμν — тензор Риччи, R — скаляр кривизны, gμν — метрический тензор. Тензор Эйнштейна автоматически удовлетворяет тождеству Бьянки:

∇μGμν = 0,

что согласуется с законом сохранения энергии-импульса.

Правильный тензорный источник: энергия и импульс материи

Правая часть уравнений должна быть представлена тензором, описывающим плотность энергии, импульса и потока энергии в каждой точке пространства-времени. Таковым является симметричный тензор энергии-импульса Tμν. Он описывает:

  • T00: плотность энергии;
  • T0i: плотность потока энергии (или импульс);
  • Tij: поток импульса — давления и напряжения.

Требование ковариантной дивергенции ноль:

∇μTμν = 0,

означает сохранение энергии и импульса в кривом пространстве-времени.

Пропорциональность кривизны и энергии

Согласно гипотезе Эйнштейна, геометрия пространства-времени (то есть тензор Эйнштейна) прямо пропорциональна тензору энергии-импульса:

Gμν = κTμν,

где κ — константа пропорциональности, которая определяется из соответствия с ньютоновской гравитацией. В слабом поле уравнение Эйнштейна должно переходить в уравнение Пуассона:

∇2ϕ = 4πGρ.

Сопоставление соответствующих компонент тензоров приводит к значению:

$$ \kappa = \frac{8\pi G}{c^4}. $$

Таким образом, полная форма уравнений Эйнштейна:

$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$

Добавление космологического члена

Эйнштейн предложил обобщить уравнение, добавив член, пропорциональный метрике:

$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

где Λ — космологическая постоянная. Этот член сохраняет ковариантность и согласуется с тождеством Бьянки. Он может интерпретироваться как плотность энергии вакуума:

$$ T_{\mu\nu}^{(\Lambda)} = -\frac{c^4 \Lambda}{8\pi G} g_{\mu\nu}. $$

Дифференциальный характер уравнений и их нелинейность

Уравнения Эйнштейна — это система десяти нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно компонентов метрики gμν. Их нелинейность связана с тем, что метрика входит в тензоры кривизны не только напрямую, но и через свои производные. Это означает, что в отличие от классического поля (электромагнитного, например), гравитационное поле обладает самодействием, то есть сама гравитация создаёт гравитацию.

Краткое рассмотрение структуры уравнений

Компоненты уравнений:

  • Левая часть Gμν: зависит от первых и вторых производных метрики;
  • Правая часть Tμν: функция координат, задающая распределение энергии и импульса материи.

Решение уравнений требует задания:

  1. Топологии и симметрии пространства-времени;
  2. Формы тензора Tμν, описывающей физическое содержимое (идеальная жидкость, электромагнитное поле и т. д.);
  3. Граничных условий.

Примеры: метрика Шварцшильда и космология Фридмана

В случае вакуума Tμν = 0, уравнения Эйнштейна принимают вид:

Rμν = 0,

что приводит к решению Шварцшильда — описывающему пространство-время вокруг сферически симметричного тела в отсутствие вещества.

При однородно-изотропном распределении материи тензор Tμν принимается в форме идеальной жидкости, и уравнения приводят к космологическим уравнениям Фридмана — описывающим расширение Вселенной.

Роль уравнений Эйнштейна в гравитационной физике

Уравнения Эйнштейна представляют собой центральную ось всей гравитационной физики, лежащую в основе изучения таких явлений, как:

  • орбиты планет и гравитационное отклонение света;
  • чёрные дыры и горизонты событий;
  • гравитационные волны;
  • космологическая эволюция Вселенной;
  • релятивистские эффекты во вращающихся системах (эффект Лензе-Тирринга).

Их универсальность, геометрическая строгость и физическая полнота делают уравнения Эйнштейна фундаментальной основой для описания гравитации как свойства самого пространства-времени.

Оглавление