Ньютоновская формулировка задачи двух тел
В классической механике задача двух тел заключается в определении движения двух материальных точек, взаимодействующих исключительно между собой посредством закона всемирного тяготения Ньютона. Пусть тела имеют массы m1 и m2, их радиус-векторы в инерциальной системе отсчёта обозначим r⃗1(t) и r⃗2(t).
Согласно закону всемирного тяготения, на первое тело действует сила
$$ \vec{F}_{12} = -G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|^3} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2), $$
а на второе — сила
$$ \vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12} = -G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_1|^3} (\vec{r}_2 - \vec{r}_1). $$
Составим уравнения движения по второму закону Ньютона:
$$ m_1 \ddot{\vec{r}}_1 = \vec{F}_{12}, \quad m_2 \ddot{\vec{r}}_2 = \vec{F}_{21}. $$
Переход к относительному движению и центр масс
Введём относительный радиус-вектор:
r⃗ = r⃗1 − r⃗2.
Тогда, вычитая второе уравнение из первого, получаем:
$$ m_1 \ddot{\vec{r}}_1 - m_2 \ddot{\vec{r}}_2 = -G \frac{m_1 m_2}{r^3} \vec{r} + G \frac{m_1 m_2}{r^3} \vec{r} = (m_1 + m_2)\ddot{\vec{R}}, $$
где
$$ \ddot{\vec{r}} = \ddot{\vec{r}}_1 - \ddot{\vec{r}}_2. $$
Получаем уравнение относительного движения:
$$ \mu \ddot{\vec{r}} = -G \frac{m_1 m_2}{r^3} \vec{r}, $$
где $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ — приведённая масса.
Одновременно вводим радиус-вектор центра масс:
$$ \vec{R} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2}{m_1 + m_2}, $$
и получаем, что $\ddot{\vec{R}} = 0$, то есть центр масс движется прямолинейно и равномерно.
Редукция к одной эффективной частице
Таким образом, задача сводится к изучению движения одной частицы массы μ в центральном поле с потенциальной энергией:
$$ U(r) = -G \frac{m_1 m_2}{r}. $$
Это классическая задача центрального поля. Обозначим m = m1 + m2. Тогда мы ищем решение уравнения:
$$ \mu \ddot{\vec{r}} = -\nabla U(r) = -G \frac{m_1 m_2}{r^3} \vec{r}. $$
Сохранение момента импульса и энергии
Поскольку сила центральная, сохраняется момент импульса:
$$ \vec{L} = \mu \vec{r} \times \dot{\vec{r}} = \text{const}. $$
Сохраняется и полная механическая энергия:
$$ E = \frac{1}{2} \mu \dot{r}^2 + \frac{L^2}{2\mu r^2} - G \frac{m_1 m_2}{r}. $$
Здесь второй член — центробежный потенциал, отвечающий за эффективное отталкивание при малых r.
Форма траектории: уравнение орбиты
Переходя в полярные координаты, где r — расстояние между телами, а θ — угол поворота радиус-вектора, получаем дифференциальное уравнение для орбиты. Используя замену $u = \frac{1}{r}$, получаем уравнение Бине:
$$ \frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = \frac{G m}{L^2}. $$
Общее решение:
$$ u(\theta) = \frac{G m}{L^2}(1 + e \cos(\theta - \theta_0)), $$
где e — эксцентриситет орбиты, θ0 — начальная фаза.
Это уравнение конического сечения. Возможны следующие случаи:
При e = 0 — круговая орбита.
Период обращения и третий закон Кеплера
Для эллиптической орбиты полная энергия E < 0. Выражение для периода обращения тела:
$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G(m_1 + m_2)}}, $$
где a — большая полуось эллипса. Это выражение и есть обобщённая форма третьего закона Кеплера.
Вычисление траекторий
Положение тела как функции времени можно найти, решая уравнение Кеплера:
M = E − esin E,
где $M = \frac{2\pi}{T} (t - t_0)$ — средняя аномалия, E — эксцентрическая аномалия. Переход к истинной аномалии θ осуществляется через:
$$ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan\left(\frac{E}{2}\right). $$
Расчёт орбитальных параметров
Основные элементы орбиты, определяющие движение тела:
В плоской задаче (движение в одной плоскости) достаточно параметров a, e, θ.
Обратная задача двух тел
Если известны положения тел в два момента времени, возможно восстановить параметры орбиты. Это — обратная задача Кеплера. В классическом варианте требуется численное решение уравнения Кеплера.
Учет массы малых тел
Во многих задачах в астрономии масса одного из тел пренебрежимо мала, например, движение спутника вокруг планеты. В таком случае удобно принять массивное тело за неподвижное и рассматривать движение лёгкого тела в его поле. Тогда m ≈ m1, μ ≈ m2, и задача упрощается.
Приложения задачи двух тел
Задача двух тел — основа для анализа:
Понимание аналитической структуры решения задачи двух тел необходимо также для перехода к более сложным задачам — задачи трёх тел, возмущённого движения, постньютоновских приближений.