Закон всемирного тяготения

Постановка закона

Закон всемирного тяготения был сформулирован Исааком Ньютоном в 1687 году в его фундаментальной работе «Математические начала натуральной философии». Согласно этому закону, всякое тело во Вселенной притягивает всякое другое тело с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Это выражается формулой:

$$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$

где:

  • F — сила гравитационного взаимодействия,
  • m1, m2 — массы взаимодействующих тел,
  • r — расстояние между центрами масс этих тел,
  • G — гравитационная постоянная, значение которой составляет

G ≈ 6, 67430 × 10−11 м3 ⋅ кг−1 ⋅ с−2

Характеристики гравитационного взаимодействия

1. Универсальность. Гравитационное взаимодействие действует между всеми телами, обладающими массой, независимо от их природы, химического состава или электрического заряда.

2. Всегда притягательное. В отличие от электромагнитного взаимодействия, гравитация не имеет отталкивающего аналога — она всегда проявляется как притяжение.

3. Дальнодействие. Гравитационная сила убывает с расстоянием как 1/r2, но никогда не становится точно нулевой. Это делает гравитацию взаимодействием бесконечного радиуса действия.

4. Центральность и направленность. Сила тяготения направлена по линии, соединяющей центры масс взаимодействующих тел, то есть это центральная сила.

5. Аддитивность. Полная гравитационная сила, действующая на тело со стороны множества других тел, равна векторной сумме сил от каждого из них.

Гравитационная постоянная и её измерение

Измерение G представляет собой одну из важнейших задач экспериментальной физики. Первая точность в определении этой величины была достигнута Генри Кавендишем в 1798 году при помощи крутильных весов. С тех пор методики уточнялись, но погрешность остаётся довольно высокой по сравнению с другими фундаментальными константами.

Проблема точности значения G остаётся актуальной: современные измерения дают значения, различающиеся за пределами статистической ошибки, что указывает на потенциальные систематические эффекты.

Движение тел под действием силы тяготения

Если один из тел значительно массивнее другого (например, Земля и яблоко), то можно считать, что гравитационное поле создаётся только массивным телом, и оно остаётся неподвижным. Тогда движение второго тела подчиняется законам Ньютона при наличии центральной силы.

Свободное падение — это движение тела под действием силы тяготения при отсутствии других сил. Ускорение свободного падения на поверхности Земли:

$$ g = \frac{G M_{\oplus}}{R_{\oplus}^2} \approx 9{,}81~\text{м/с}^2 $$

где M⊕ — масса Земли, R⊕ — её радиус.

Гравитационный потенциал и энергия

Гравитационную силу можно вывести из скалярного гравитационного потенциала φ, который определяется следующим образом:

$$ \varphi(\mathbf{r}) = -G \frac{M}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} $$

а сила:

F = −m∇φ

где m — масса испытывающего силу тела. Тогда потенциальная энергия взаимодействия двух масс m1 и m2 на расстоянии r:

$$ U(r) = -G \frac{m_1 m_2}{r} $$

Знак минус показывает, что система обладает связанной энергией: требуется затратить работу, чтобы разнести тела на бесконечно большое расстояние.

Орбитальные движения: законы Кеплера из закона Ньютона

Гравитационный закон объясняет и количественно обосновывает законы Кеплера, описывающие движение планет. Используя ньютоновскую механику и закон тяготения, можно вывести:

  • эллиптическую форму орбит;
  • закон площадей (следствие сохранения момента импульса);
  • зависимость квадрата периода обращения от куба большой полуоси:

$$ T^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{G(M + m)} $$

что при M ≫ m переходит в приближённую форму закона Кеплера.

Движение двух тел и редукция к одной массе

Для системы двух взаимодействующих тел удобно перейти к системе центра масс и свести задачу к эквивалентному движению точки массы $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ в центральном поле с потенциальной энергией U(r). Это редукция задачи двух тел к одной эффективной массе.

Понятие эффективного потенциала:

$$ U_{\text{эфф}}(r) = -G \frac{m_1 m_2}{r} + \frac{L^2}{2\mu r^2} $$

где L — орбитальный момент. Этот потенциал позволяет анализировать устойчивость орбит и возможные траектории: замкнутые (эллипсы), параболические и гиперболические.

Расширение закона на распределённые массы

Для распределённой массы (например, планеты или шара) суммирование гравитационного взаимодействия ведёт к интегральной форме:

$$ \mathbf{F}(\mathbf{r}) = -G m \int \frac{(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \, d^3 r' $$

Если масса распределена сферически симметрично, то вне этой массы гравитационное поле идентично полю точки с массой M в центре (теорема о сферической симметрии).

Внутри шара плотности ρ = const, сила тяготения пропорциональна r:

$$ F(r) = G \frac{m M(r)}{r^2} = G \frac{m \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \rho}{r^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho m r $$

что соответствует гармоническому потенциалу и линейному увеличению ускорения с расстоянием от центра.

Ограничения закона Ньютона

1. Ньютонова теория не учитывает конечную скорость распространения гравитационного взаимодействия. В рамках классической теории изменения положения масс мгновенно влияют на силу тяготения — это противоречит специальной теории относительности.

2. Неадекватность при сильных полях и больших скоростях. Например, прецессия перигелия Меркурия не может быть объяснена ньютоновской теорией и требует общей теории относительности (ОТО).

3. Нет объяснения природы гравитации. Закон Ньютона описывает силу, но не раскрывает её фундаментальной сущности, что стало предметом развития полевых и геометрических теорий гравитации.

Тем не менее, ньютоновский закон остаётся выдающимся достижением физики и на практике даёт высокоточные результаты в пределах большинства инженерных и астрономических приложений, особенно при малых скоростях и слабых полях.

Оглавление